numeros complejos

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA


Definición:

Llamaremos número complejo al par ordenado (a,b) de números reales que notaremos Z=(a,b), donde a: componente real.
b: componente imaginaria.

Un número complejo del tipo Z=(a,0) se llama complejo real puro, su componente imaginaria es nula, en particular el complejo Z=(0,0) , ( complejo nulo ) representa , en el campode los complejos, al real 0.

Un número complejo del tipo Z=(0,b) se llama complejo imaginario puro, su componente real es nula.

Ejemplos:

Z1=(-3,4) --> nº complejo de componente real -3 e imaginaria 4.
Z2=(7,0) --> nº complejo real puro de componente real 7.
Z3=(0,6) --> nº complejo imaginario puro de componente imaginaria 6.

Observación:
Si bien puede desarrollarse gran parte dela teoría de los números complejos a partir de los mismos dados en forma de par ordenado, en este curso lo haremos a través de su representación en forma binómica y polar.

Unidad imaginaria:

Para dar sentido a la expresión con p>0 se convino en llamar unidad imaginaria a , entonces por aplicación de propiedades de la radicación resulta que:
= =

Usando este concepto y por aplicaciónde operaciones con complejos en forma de par ordenado se prueba que todo complejo Z=(a,b) puede escribirse en forma binómica como:
Z=a+b donde a: parte real
b: parte imaginaria


Ejemplos:

Z1= (-3,4) = -3+4
Z2=(7,0) = 7+0 = 7
Z3=(0,6) = 0+6 = 6

Igualdad entre números complejos:

Dado Z1=a1+b1 y Z2=a2+b2 , Z1=Z2 a1=a2 y b1=b2

Potenciasnaturales de la unidad imaginaria:

0 = 1
1 =
2 = -1 se prueba a partir de producto de números complejos en forma de par ordenado)
3 = 2 . = -1. = -
4 = 3 . = - . = - 2 = - (-1) = 1
5 = 4 . = 1. =
......................................

De lo anterior se observa que las potencias naturales de se reproducen cada períodos de 4, dicho de otra forma , dado n  N tenemos en este casoque:

n | 4 n = 4 . c + r
r c

entonces: n = 4 . c + r = 4 . c . r = ( 4) c . r = 1 . r = r

En definitiva elevado a cualquier natural es igual a elevado al resto de la división del exponente dado por 4.

Ejemplo:

3689 =( 4) 922 . =

Operaciones con números complejos enforma binómica:

Suma:

Dado Z1=a1+b1 y Z2=a2+b2 , el complejo suma Zs = (a1+a2) + (b1+b2)


Ejemplo:

Z1=7-9
Z2=-4+3 , Z1+Z2=3-6

Propiedades:

a) Z1+Z2 = Z2+Z1
b) Z1+Z2+Z3 = (Z1+Z2) + Z3 = Z1 + (Z2+Z3)
c)  Z=a + b  el complejo nulo ( 0+0 ) tal que ( a+b ) + (0+0 ) = a+b
d)  Z=a+b  -Z=-a-b tal que Z+(-Z)=a+b +(-a-b )=0+0
-Z recibe el nombre de nºcomplejo opuesto.

Esta propiedad permite definir a la resta de complejos como la suma del primero más el opuesto del segundo.

Ejemplo:

Si Z1=5-7 ; Z2=-3+ , entonces Z1-Z2=Z1+(-Z2)=5-7 +(3- ) =8-8

Producto:

Dado Z1=a1+b1 y Z2=a2+b2 , el producto se define de forma tal que sean válidas las propiedades conmutativa y distributiva de los números reales:

(a1+b1 ) . (a2+b2 ) =a1(a2+b2 ) + b1 (a2+b2 ) =

= a1a2+a1b2 +b1a2 +b1b2 2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2+b1a2)

-1

Ejemplos:

a) Z1=4-3 i , Z2=-6+2 i

Z1.Z2=(4-3 i)(-6+2 i)=-24+8 i+18 i-6 i2 = -24+8 i+18 i+6 = -18+26 i

b) Dado Z=3-2 i hallar Z3.

Por definición de potencia Z3 es el producto deZ.Z.Z, lo que sabemos equivale al desarrollo del cubo de un binomio:

(3-2 i)3 = 33+3.32.(-2 i)+3.(-2 i)2.3+(-2 i)3 = 27-54 i+36 i2-8 i3 = 27-54 i-36+8 i = 9-46 i

 
-1 -i...