Numeros complejos

Números complejos – Matemáticas I – I.E.S. Al-basit 1

Números complejos.
Necesidad de ampliar el conjunto de los números reales.
En ocasiones cuando resolvemos ecuaciones como la siguiente x 2 1=0 Nos encontramos, si despejamos la incógnita x, con que También, si resolvemos la ecuación x 2 4=0x 2 =−4x=± −4 que podemos expresar como x=±2. −1 Y si resolvemos la ecuación x 2 – 6 x13=0tendremos las soluciones x= 6±  36−52 6± −16 = 2 2 x=± −1

Y cuyas soluciones podemos expresar como
x= 6±4 −16 =3±2. −1 2

Luego, como hemos podido ver en estos ejemplos, todas las soluciones dependen de un

 −1 cuya raíz cuadrada no existe en los números reales. Así pues, se hace necesario ampliar el conjunto de los números reales, asignando a dicho valor el símbolo î = −1 a dichavalor raíz, y denominando como unidad imaginaria.

Números complejos
Número complejo en forma binómica Se denomina número complejo, en forma binómica, a la expresión ab .î Donde al número real a se le denomina parte real, y al número real b, parte imaginaria. Si b=0 , dicho número se reduce a un número real, ya que a + 0. î = a. Por ello, los

números reales son un subconjunto numérico delos números complejos. Si a=0 el número complejo sera de la forma 0b.î =b.î , y se denomina número

imaginario puro. Si a=0=b , resulta el número complejo cero 00 î =0

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Igualdad entre números complejos

ab î =cd î  a=c y b=d .
Complejos conjugados. Un número complejo

w=cd î es conjugado de

z=ab î si a=c y b=−d

Alnúmero complejo conjugado de

z , se representa por  z

# Ejemplo.- 32 î es conjugado de 3 – 2î

Operaciones con números complejos en forma binómica
Suma de números complejos Si z 1=a 1 b1 î y z 2 =a 2b 2 î

z 1 z 2 =a 1b1 î a 2b 2 î =a 1 a 2 b 1 b 2 î Resta de números complejos Si z 1=a 1 b1 î y z 2 =a 2b 2 î

z 1− z 2 =a 1b1 î −a 2b2 î =a 1 −a 2 b 1 −b 2 îProducto de números complejos Si z 1=a 1 b1 î y z 2 =a 2b 2 î

z 1 . z 2 = a 1b 1 î .a 2 b 2 î =a 1 .a 2 −b1 .b 2 a 1 .b 2 a 2 . b 1 î

# Ejemplos32î 8 – 5î =382 î – 5î =11 – 3 î 32î −8 – 5î =3−82 î – −5î =−57 î 32î .8 – 5î =3.8−2.−53.−52 .8î =34î Cociente de números complejos Si z 1=a 1 b1 î y z 2 =a 2b 2 î con z 2 ≠0

z 1 z 1 . z 2  a 1b 1î .a 2 −b2 î  a 1 . a 2 b 1 . b 2 a2 .b 1 −a1 . b 2 = = =  î z 2 z 2 . z 2 a 2b 2 î .a 2 −b2 î  a 2 b 2 a 2 b2 2 2 2 2 # Ejemplo32 î 32î .85 î  34î 34 1 = = =  î 8 – 5î 85î .8−5î  89 89 89 Potencias de números complejos abî n =ab î .ab î .⋯producto n veces ⋯.abî 

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Para desarrollar esta potencia,podemos efectuar el producto de

abî 

n veces (si n es

un número pequeño) o se desarrolla mediante el binomio de Newton, teniendo en cuenta que î 0 =1 î 1 =î î 2 =−1 î 3 =î 2 . î =−î î 4 =î .î =1 î 5 =î î 6 =−1 î 7 =−î î 8 =1 ... # Ejercicios resueltos î 544=î 4 136=0 136=0 î 6254=î 4 .15632 =î 2 =−1
2030 î 2030 î .3 – î  9070 î = = =97 î 33î 33î .3−3î  10

23î 2=412î 9 î 2 =412 î – 9=−512 î

Representación gráfica de un número complejo
Podemos representar los números complejos en el plano euclídeo, haciéndole corresponder a cada número complejo z=ab î el afijo Aa ,b

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Módulo de un número complejo Si

z=ab î es un número complejo de afijo

Aa ,b y O es el origen de coordenadas,entonces, denominamos módulo de z es ∣z∣=∣  a 2 b 2 OA∣= Argumento de un número complejo Si z=ab î es un número complejo de afijo Aa ,b y O es el origen de coordenadas,

entonces, denominamos argumento de z es  arg  z ={OX ,  OA} Teniendo en cuenta la definición de tangente trigonométrica de un ángulo, para el número complejo z=ab î se deduce

arg  z =  .rad 2 3 . rad 2...