NUMEROS COMPLEJOS
Páginas: 15 (3684 palabras)
Publicado: 29 de junio de 2014
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE LOS MOCHIS
MATERIA : Á LGEBRA LINEAL
UNIDAD 1: N ÚMEROS C OMPLEJOS
PROFESOR: M. C. LUIS FELIPE FLORES LÓPEZ
El álgebra lineal aporta, al perfil de ingeniero, la capacidad para desarrollar un pensamiento lógico, heurístico
y algorítmico al modelar fenómenos de naturaleza lineal y resolver problemas.
Dedicatoria
Para quien lo perfecto, no es un imposible,
Paraquienes dieron lo mejor de sí, para hacernos hombres de bien,
Para quienes son partícipes de fortalecer el núcleo familiar,
Para quienes se comprometen con la Educación.
Agradezco su interés por las notas; sus comentarios y aportaciones serán de gran utilidad para
transformarlas en un material didáctico.
1. N ÚMEROS COMPLEJOS .
1.1.
D EFINICIÓN Y ORIGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS .
1.2.O PERACIONES FUNDAMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS .
1.3.
M ODULO Y ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO .
1.4.
F ORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO .
1.5.
T EOREMA DE M OIVRE , POTENCIAS Y EXTRACCIÓN DE RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO .
1.6.
E CUACIONES P OLINÓMICAS .
UNIDAD 1: NÚMEROS COMPLEJOS
1.1 DEFINICIÓN Y ORIGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
Origen de los NúmerosComplejos: La primera referencia conocida a
raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos
griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo como
resultado de una imposible sección de una pirámide.
El gran matemático Diofanto (275 d.C.) construyó un triángulo con
una cuerda en la que había realizado 12 nudos (equidistantes). Los lados
medían 3 , 4 y 5.
Evidentemente el triángulo es rectángulo, cumple el teorema de Pitágoras:
Para generar Nuevo Archivo: c 1
Si aparece el mensaje ¿Desea guardar
“Documento no guardado”? Seleccionar
No · 1 la página 1.1 se configuro en
Modo Calculadora.
Configuraciones del documento: ~ 7 2
configurar como en la imagen de abajo,
Ok · para almacenar.
32 + 42 = 5 2
Al ser un triángulo rectángulo esfácil comprobar que el área es
unidades.
6
Con la misma cuerda trató de construir otro triángulo rectángulo de forma
que su área fuese 7 unidades. Su planteamiento fue el siguiente:
• un cateto mediría x
14
• como el área debía ser 7 , el otro cateto será x .
•
la hipotenusa debe cumplir el teorema de Pitágoras
pero por otra parte la suma de sus lados debe ser 12 :
Por tantose debe cumplir la ecuación:
De donde se obtiene:
x2 +
2
⎛ 14 ⎞
x2 + ⎜ ⎟ = h2
⎝ x⎠
14
x + + h = 12
x
196 ⎛
14 ⎞
= ⎜ 12 - x - ⎟
2
⎝
x
x⎠
De los cálculos inferiores capturar la
columna izquierda, al presionar ·
aparecerá la columna derecha.
Nota: Verifica que la captura la hayas
realizado de manera correcta.
2
6x 2 - 43x + 84 = 0
Cuya solución Diofanto expresócomo:
Separando la fracción obtenemos:
43 ± 167 -1
12
43
167
±
-1
12
12
Pero no conocía ningún número que elevado al cuadrado fuese igual a -1 ,
por tanto, el problema no tenía solución. Este problema planteado por
Diofanto tardaría siglos en resolverse.
Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la
búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de lospolinomios de grados
2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia,
Cardano. Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de
ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números
negativos. Cardano sugirió que el número real 40 se puede expresar como:
PROFESOR: M. C. LUIS FELIPE FLORES LÓPEZ
2 - 16
UNIDAD 1: NÚMEROSCOMPLEJOS
(5 +
)(
-15 ⋅ 5 - -15
)
ya que 40 = 25 -(-15) = 5 2 -( -15 )2 = (5 2 +
por lo tanto 40 = ( 5 + -15 ) ⋅ ( 5 - -15 )
-15 )(5 2 - -15 )
En 1777 el matemático suizo Leonhard Euler (1707 - 1783)
simbolizó la raíz cuadrada de –1 con la letra i por imaginario. ∴ i 2 = −1
Esta idea también sugerida por Jean-Robert Argand que describió en
1806, mientras atendía una tienda de...
MATERIA : Á LGEBRA LINEAL
UNIDAD 1: N ÚMEROS C OMPLEJOS
PROFESOR: M. C. LUIS FELIPE FLORES LÓPEZ
El álgebra lineal aporta, al perfil de ingeniero, la capacidad para desarrollar un pensamiento lógico, heurístico
y algorítmico al modelar fenómenos de naturaleza lineal y resolver problemas.
Dedicatoria
Para quien lo perfecto, no es un imposible,
Paraquienes dieron lo mejor de sí, para hacernos hombres de bien,
Para quienes son partícipes de fortalecer el núcleo familiar,
Para quienes se comprometen con la Educación.
Agradezco su interés por las notas; sus comentarios y aportaciones serán de gran utilidad para
transformarlas en un material didáctico.
1. N ÚMEROS COMPLEJOS .
1.1.
D EFINICIÓN Y ORIGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS .
1.2.O PERACIONES FUNDAMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS .
1.3.
M ODULO Y ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO .
1.4.
F ORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO .
1.5.
T EOREMA DE M OIVRE , POTENCIAS Y EXTRACCIÓN DE RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO .
1.6.
E CUACIONES P OLINÓMICAS .
UNIDAD 1: NÚMEROS COMPLEJOS
1.1 DEFINICIÓN Y ORIGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS.
Origen de los NúmerosComplejos: La primera referencia conocida a
raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos
griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo como
resultado de una imposible sección de una pirámide.
El gran matemático Diofanto (275 d.C.) construyó un triángulo con
una cuerda en la que había realizado 12 nudos (equidistantes). Los lados
medían 3 , 4 y 5.
Evidentemente el triángulo es rectángulo, cumple el teorema de Pitágoras:
Para generar Nuevo Archivo: c 1
Si aparece el mensaje ¿Desea guardar
“Documento no guardado”? Seleccionar
No · 1 la página 1.1 se configuro en
Modo Calculadora.
Configuraciones del documento: ~ 7 2
configurar como en la imagen de abajo,
Ok · para almacenar.
32 + 42 = 5 2
Al ser un triángulo rectángulo esfácil comprobar que el área es
unidades.
6
Con la misma cuerda trató de construir otro triángulo rectángulo de forma
que su área fuese 7 unidades. Su planteamiento fue el siguiente:
• un cateto mediría x
14
• como el área debía ser 7 , el otro cateto será x .
•
la hipotenusa debe cumplir el teorema de Pitágoras
pero por otra parte la suma de sus lados debe ser 12 :
Por tantose debe cumplir la ecuación:
De donde se obtiene:
x2 +
2
⎛ 14 ⎞
x2 + ⎜ ⎟ = h2
⎝ x⎠
14
x + + h = 12
x
196 ⎛
14 ⎞
= ⎜ 12 - x - ⎟
2
⎝
x
x⎠
De los cálculos inferiores capturar la
columna izquierda, al presionar ·
aparecerá la columna derecha.
Nota: Verifica que la captura la hayas
realizado de manera correcta.
2
6x 2 - 43x + 84 = 0
Cuya solución Diofanto expresócomo:
Separando la fracción obtenemos:
43 ± 167 -1
12
43
167
±
-1
12
12
Pero no conocía ningún número que elevado al cuadrado fuese igual a -1 ,
por tanto, el problema no tenía solución. Este problema planteado por
Diofanto tardaría siglos en resolverse.
Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la
búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de lospolinomios de grados
2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia,
Cardano. Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de
ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números
negativos. Cardano sugirió que el número real 40 se puede expresar como:
PROFESOR: M. C. LUIS FELIPE FLORES LÓPEZ
2 - 16
UNIDAD 1: NÚMEROSCOMPLEJOS
(5 +
)(
-15 ⋅ 5 - -15
)
ya que 40 = 25 -(-15) = 5 2 -( -15 )2 = (5 2 +
por lo tanto 40 = ( 5 + -15 ) ⋅ ( 5 - -15 )
-15 )(5 2 - -15 )
En 1777 el matemático suizo Leonhard Euler (1707 - 1783)
simbolizó la raíz cuadrada de –1 con la letra i por imaginario. ∴ i 2 = −1
Esta idea también sugerida por Jean-Robert Argand que describió en
1806, mientras atendía una tienda de...
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