Trigonometria

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Guía Matemática
TRIGONOMETR´A
I
tutora: Jacky Moreno

.cl

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1.

Trigonometr´
ıa

El estudio de la trigonometr´ remonta hace muchos a˜os atr´s. La antigua
ıa
n
a
cultura griega incio el estudio de esta rama a trav´s de la deducci´n de las
e
o
relaciones entre los ´ngulos de un c´
a
ırculo y sus respectivas cuerdas, por otro
lado, acontinuaci´n de estos estudios los griegos y babil´nicos desarrollaron las
o
o
ideas sobre las relaciones entre los lados de tri´ngulos semejantes. Todo este
a
desarrollo de la trigonometr´ por las antiguas culturas estaba asociado b´sicaıa
a
mente a la astronom´ y no vista como una rama de la matem´tica independiente. Reci´n en el siglo XV
ıa
a
e
el matem´tico Johann M¨ller publico dostextos que marcaron la independizaci´n de la trigonometr´ de
a
u
o
ıa
la astronom´
ıa.
La trigonometr´ desde ese entonces se ha seguido desarrollando y aplicando en diferentes ´reas, coıa
a
mo por ejemplo para estudiar movimientos peri´dicos en f´
o
ısica, para estudiar los latidos del coraz´n en
o
biolog´ para medir distancias inaccesibles, entre otras aplicaciones.
ıa,

1.1.Razones trigonom´tricas en el tri´ngulo rect´ngulo
e
a
a

La trigonometr´ que significa epistemol´gicamente “Medida de tri´ngulos”, es una rama de las maıa
o
a
tem´ticas que relaciona los ´ngulos con los lados de un tri´ngulo rect´ngulo a trav´s de distintas razones
a
a
a
a
e
matem´ticas.
a
A continuaci´n estudiaremos las razones trigonom´tricas que corresponden a razones entre lasmedidas
o
e
de los lados de un tri´ngulo rect´ngulo. Sea el tri´ngulo ABC rect´ngulo en C, fijaremos nuestra atenci´n
a
a
a
a
o
en el ´ngulo α, por lo que nombramos los lados del tri´ngulo de la siguiente manera:
a
a
AC : Cateto adyacente al ´ngulo α
a
BC : Cateto opuesto al ´ngulo α
a
AB : Hipotenusa del tri´ngulo ABC
a

Seno de un ´ngulo: El seno de un ´ngulo α se denota comosen(α) y corresponde al cuociente
a
a
entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

sen(α) =

Cateto opuesto a α
a
=
Hipotenusa
c

2

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Coseno de un ´ngulo: El coseno de un ´ngulo α se denota como cos(α) y corresponde al cuociente
a
a
entre el cateto adyacete y la hipotenusa.

cos(α) =

Cateto adyacente a α
b
=
Hipotenusa
c

Tangente de un ´ngulo: La tangente deun ´ngulo α se denota como tan(α) y corresponde al
a
a
cuociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

tan(α) =

sen(α)
Cateto opuesto a α
a
=
=
cos(α)
Cateto adyaceinte a α
b

Desaf´ 1
ıo
¿Cu´l es el intervalo de valores que pueden tomar las razones trigonom´tricas sen(α)
a
e
y cos(α)?
Respuesta

Las tres razones trigonom´tricas mostradas anteriormente son lasm´s conocidas. Adem´s existen otras
e
a
a
tres que corresponden a las razones inversas de las anteriores:
Cosecante de un ´ngulo: La cosecante de un ´ngulo α se denota como csc(α) y corresponde a la
a
a
raz´n inversa del sen(α).
o

csc(α) =

1
Hipotenusa
c
=
=
sen(α)
Cateto opuesto a α
a

Secante de un ´ngulo: La secante de un ´ngulo α se denota como sec(α) y corresponde a laraz´n
a
a
o
inversa del cos(α).

sec(α) =

Hipotenusa
c
1
=
=
cos(α)
Cateto adyacente a α
b

Cotangente de un ´ngulo: La cotangente de un ´ngulo α se denota como cot(α) y corresponde
a
a
a la raz´n inversa de la tan(α).
o

cot(α) =

1
cos(α)
Cateto adyacente a α
b
=
=
=
tan(α)
sen(α)
Cateto opuesto a α
a

Desaf´ 2
ıo
¿Es cierto que las razones trigonom´tricasson independientes del tri´ngulo rect´ngulo
e
a
a
que se construya para el ´ngulo definido?
a
Respuesta

3

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A continuaci´n mostramos una tabla con los valores de algunas razones trigonom´tricas para ciertos
o
e
a
´ngulos notables entre 0° y 90° que se usan con frecuencia en problemas de trigonometr´
ıa:
0°
√
sen(α)

cos(α)
tan(α)

0
=0
2
√
4
=1
2...