Numeros complejos

DESARROLLO DE CONTENIDOS
Números Complejos
A. Origen del término de número imaginario.
B. Teorema de De Moivre y su aplicación en la potenciación y radicación de números complejos.
C. Diferentes formas de representar los números complejos y su aplicación en la ingeniería.


A. Origen del término de número imaginario.
La validez de las operaciones con números complejos era cuestionadapor varios matemáticos anteriores del siglo XIX. El nombre de ˂> que aún se da a los números complejos cuya parte real es nula es un vestigio de este escepticismo. Sin embargo a comienzos del siglo XIX una sencilla interpretación geométrica de las operaciones con números complejos hizo desaparecer esas sospechas. Esta interpretación geométrica fue encontrada simultáneamente por Wessel (1745-1818),Argand (1768-1822) y Gauss (1777-1855).
El término “parte imaginaria” surgió del misticismo que rodeaba a los números complejos cuando las personas comenzaron a utilizarlos; sin embargo, estos números son tan “reales” como los números reales. Para una mejor concentración de estos números imaginarios, exponemos ejemplos que nos ayuda a capturar el entendimiento de aquellos y su utilización.
Unnúmero complejo es un número que se escribe en la forma

Donde son números reales, e es un símbolo formal que satisface la relación = -1. El número es la parte real de que se denota como Re , y es la parte imaginaria de , que se denota como Im .
Dos números complejos se consideran iguales si y solo si sus partes real e imaginaria son iguales. Por ejemplo si = 5 + (-2), entonces Re = 5 e Im= -2
El número imaginario es representado por el símbolo = tiene la propiedad de que = -1, de lo cual podemos deducir las siguientes relaciones:

Estos resultados permiten simplificar las operaciones con numeros complejos.
Notese que la parte imaginaria (Im) es representado graficamente en la coordenada Y , mientras que los numeros reales (Re) en el eje X.


B. Teorema de De Moivre ysu aplicación en la potenciación y radicación de números complejos

La fórmula de De Moivre nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) x y para cualquier entero n se verifica que:

Esta fórmula es importante porque conecta a los números complejos (i significa unidad imaginaria como ha sido mencionadaanteriormente) con la trigonometría. La expresión "" a veces se abrevia como cis x.
Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible derivar expresiones muy útiles para cos(nx) y sen(nx) en términos de cos(x) y sen(x). Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la enésima raíz de la unidad, eso es, números complejosz tal que zn = 1.
Abraham De Moivre fue amigo de Newton; en 1698 éste último escribió que ya conocía dicha fórmula desde 1676.
Aplicaciones
Esta fórmula puede ser utilizada para encontrar tanto la potencia como las raíces enésimas de un número complejo escrito en la forma polar.

Si el número complejo está en forma binómica, primero hay que convertirlo a forma polar.
Potencia
Para obtenerla potencia del número complejo se aplica la fórmula:

Raíces
Para obtener la n raíces de un número complejo, se aplica:

Donde k es un número entero que va desde 0 hasta n-1, que al sustituirlo en la fórmula permite obtener la n raíces diferentes de z.

C. Diferentes formas de representar los números complejos y su aplicación en la ingeniería.

Una de las aplicaciones de los númeroscomplejos en la ingeniería es usar este método en los circuitos de corriente alterna en estado estable, se describen y calculan con más facilidad usando números complejos. Estos números especiales representan voltajes, corrientes, impedancias y potencias complejos. En esta aplicación proporciona a los lectores un repaso sobre este tema de las matemáticas. También será una fuente cómoda de fórmulas...