Numeros Complejos

BREVE INTRODUCCIÓN A LOS NÚMEROS COMPLEJOS Y SUS APLICACIONES A LA ELECTRICIDAD1
ALEJANDRO DOMÍNGUEZ COLEGIO NACIONAL DE EDUCACIÓN PROFESIONAL TÉCNICA (CONALEP), PLANTEL “EL SOL” NEZAHUALCÓYOTL, ESTADO DE MÉXICO, MÉXICO 18 DE AGOSTO DE 1983

Recomendaciones y advertencias
Los presentes apuntes corresponden a una unidad del programa de Matemáticas I (Álgebra), cuya asignatura se imparte a losestudiantes de la carrera de Técnico Profesional en Electrónica Industrial. Estos apuntes son un apoyo didáctico tanto para los profesores como para los estudiantes y no pretenden ser un estudio especializado sobre números complejos y/o electricidad, ya que, como su nombre lo indica, sólo son una breve introducción a dichos temas. Se inicia con una breve reseña histórica, la cual sirve paraintroducir un nuevo concepto: números imaginarios. Continua con la definición y propiedades algebraicas de los números complejos, los cuales, a su vez, sirven para introducir la representación geométrica de los mismos. Por último, se describe la aplicación de estos números al cálculo de impedancias equivalentes en una red eléctrica.

Introducción histórica
Los números complejos aparecen por primeravez en la solución de ecuaciones de segundo y tercer grado a fines del siglo XV y principios del XVI. En esos tiempos la solución de ecuaciones algebraicas era uno de los problemas centrales del álgebra. Pero no es sino hasta después de dos siglos que fueron aceptados como un recurso técnico. Ciertamente que con las aportaciones de Argand, Gauss y Hamilton se descorre el velo de misterio querodeaba a estos números, pero sólo en el terreno formal; esto no significó, de ninguna manera, que los números complejos fueran aceptados por completo entre los matemáticos, ni mucho menos que fueran comprendidos del todo. Todavía en el siglo XIX muchos matemáticos seguían considerándolos como “entes abominables”. Con este se quiere señalar que el concepto de número complejo fue difícil de entender: espor ello que se tardó tanto tiempo en ser aceptados.

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Los números imaginarios
Existe unainfinidad de formas de introducir los números imaginarios, los cuales están estrechamente ligados con los números complejos, pero aquí se mencionará la que no causa tanta confusión matemática: un número imaginario representa una idea matemática precisa, que se introdujo por la fuerza en el álgebra de la misma manera que con los números negativos. De esta forma su entendimiento y uso serán másclaros si consideramos el desarrollo de sus progenitores: los números negativos. Los números negativos aparecieron como raíces de ecuaciones tan pronto nacieron éstas; o mejor dicho, tan pronto como los matemáticos se ocuparon del álgebra. Toda ecuación de la forma: ���� + �� = 0; ��, �� > 0, tiene una raíz negativa. Los griegos, para quienes la geometría era un regocijo y el álgebra un malnecesario, descartaron a los números negativos. Incapaces de adoptarlos a su geometría, imposibilitados para representarlos gráficamente, los griegos no los consideraron de modo alguno. Pero el álgebra los necesitaba para desarrollarse. Más sabios que los griegos, los chinos y los hindúes reconocieron a los números negativos antes de la era cristiana. Cardan, eminente matemático del siglo XVI, jugador ybribón de vez en cuando y a quien el álgebra debe muchísimo, fue el primero que reconoció la verdadera importancia de las raíces (soluciones) negativas en las ecuaciones. Pero su conciencia científica lo remordió hasta el punto tal que las llamó “ficticias”. Rafael Bombelli, de Bologna, prosiguió la obra de Cardan donde éste la había dejado y llegó a hablar de las raíces cuadradas de números...