Numeros Complejos

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1 NUMEROS COMPLEJOS
1.1 Definición y origen de los números complejos.
Todo número complejo (o imaginario) es una expresión de la forma
es la parte imaginaria. Tanto como son reales, e
√

donde

Los números complejos aparecen al tratar de resolver ecuaciones del tipo
se obtiene
que se escribe
√

es la parte real y

. Despejando a

El origen de los números complejos se remontaal siglo XVI en que Cardano llamó raíz ficticia a las
raíces negativas de una ecuación. Otros matemáticos posteriormente las llamaron raíces falsas o raíces
sordas.
En 1572 Rafael Bombelli señaló que eran necesarias las cantidades imaginarias para resolver
ecuaciones algebraicas que tuvieran la forma
., donde es cualquier número positivo.
El brillante matemático Leonhard Euler designó por a√
El símbolo expresa en forma precisa
una idea abstracta, ya que se puede preguntar ¿Existe algún número que se multiplique por sí mismo y
de
?
Los números complejos se pueden graficar en el plano complejo creado por el gran matemático
Gauss, quien colocó en el eje la parte , y en el eje la parte
es decir, el eje o eje real (Re)
representa la parte real de un número complejo y el eje oeje imaginario (Im) la parte imaginaria del
)
número complejo. Otra forma de representar un número complejo es el par real (

.(

(

)

)

Gráfica 1: Representación del número complejo (

).

De acuerdo a la gráfica anterior los números reales están contenidos en los números complejos, ya
que en el plano
el número complejo ( ) coincide con el número real , donde
En el caso de
losnúmeros complejos de la forma ( ) son llamados imaginarios puros.

2
1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.
Los números complejos cumplen las reglas del álgebra ya que se pueden sumar, restar, multiplicar,
dividir (excepto la división por
) Antes de ver la suma de números complejos escribiremos en
función de diferentes expresiones:
√

√( )(

√

)

√

√ √
√( )(√
√(

√
√

)(

)

)(

√

√(

)

√

)

)( )(

)

√(

√(

)(

)

√(

√

√(

)(

)

√( )( )(
)(

√(

√

√

√

√
√

√

√
√

√
√

√
√

√

)

√

√

)

√(

√

√

√

√ √

)( )(

COMPRUEBE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS.
√

√ √ √

√

√

√

)(

√

√

√

)

√

)(

√(

√
√
√

√( )( )(

)√(

√

√

√

)
)

√
√

√

√ √

)( )(

√

)

√

√

√

√

√ √ √

√

√

√

√

√

√

√ √

(

√
√
√

√

)√

√

√

3
Suma de un número complejo
Para sumar dos números complejos se suma primero la parte real del primer número con la parte real
del segundo. Luego se suma la parte imaginaria del primer número con la parte imaginaria delsegundo.
En forma de ecuación queda como sigue:
(
(

)
)

(
(

)
)

(
(

)
)

(
(

)

)

Por ejemplo:
(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

La suma anterior se realizó en tres pasos, se recomienda al principio practicar los tres pasos, con un
poco de práctica podemos realizar solo los dos últimos pasos, cuando tengamos varios ejercicios
resueltos podremosaplicar directamente el último paso.
Veamos otros ejemplos con dos pasos:
(

)

(

(

)

(

(

)

(

(

)

)
)

)

(

)

(

)

(
)

)

)

(

(

)

(

(

)

)

(

(
)

(

)

(
)

(

(

(

)

)

)
(

)

(

(

)

)

Al resolver fracciones es posible hacerlo con la calculadora, en este ejercicio lo haremos paso apaso en
forma manual, y así obtenemos un resultado exacto.
(

(

)

(

)

(

)

)

Observe que el resultado anterior está en fracciones por lo que es exacto, si usamos decimales el
resultado NO es exacto. Veamos el caso de:

4
En el caso anterior se puede reportar el resultado como:
ó
ó
los cuales no son
iguales y NO son exactos. Es por esto que debemos siempre tratar...