Numeros Complejos

Tema 9

El plano complejo
9.1

N´
umeros complejos

En IR, las operaciones suma y producto de n´
umeros reales son operaciones internas (el resultado
de operar es otro n´
umero real) que permiten la existencia de operaciones inversas, resta y
divisi´on. Sin embargo, sobre IR2 tenemos definida una operaci´on suma que s´ı es interna:
(a1 , b1 ) ∈ IR2 , (a2 , b2 ) ∈ IR2 , y (a1 , b1 ) +(a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 ) ∈ IR2 ,
con operacion inversa la resta (suma de opuestos) y una operacion producto escalar, que no es
interna,
(a1 , b1 ) ∈ IR2 , (a2 , b2 ) ∈ IR2 , y (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) = a1 a2 + b1 b2 ∈ IR
y no admite una operaci´on inversa.
Dotar a IR2 de una operaci´on “producto” interna, con un funcionamiento an´alogo al funcionamiento del producto en IR crea unanueva estructura conocida como el conjunto de los
n´
umeros complejos o el cuerpo complejo.
Esta operaci´on producto “∗” se define de la forma siguiente:
(a1 , b1 ) ∗ (a2 , b2 ) = (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + b1 a2 ).
As´ı, el conjunto de los n´
umeros complejos, C, est´a formado por el conjunto IR2 con dos operaciones b´asicas: suma “+” (la suma de IR2 ) y el producto complejo “∗” (definidoarriba). Es
decir, C = (IR2 , +, ∗).

9.1.1

Forma bin´
omica de un n´
umero complejo

El producto (complejo) tiene por elemento neutro (1, 0), pues
(1, 0) ∗ (a, b) = (a, b) ∗ (1, 0) = (1a − 0b, 0a + 1b) = (1a, 1b) = (a, b).
Pero tambi´en, 1(a, b) = (1a, 1b) = (a, b) y, de hecho, para cualquier escalar λ,
(λ, 0) ∗ (a, b) = (λa − 0b, 0a + λb) = (λa, λb) = λ(a, b)
luego pueden identificarselos elementos (λ, 0) con los n´
umeros reales λ, es decir, (λ, 0) = λ a
todos los efectos.
Como (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + (0, b) = a + b(0, 1), haciendo (0, 1) = i el n´
umero complejo
se escribe (a, b) = a+ib, que se denomina forma bin´
omica del n´
umero complejo. Del elemento
i se dice que es la unidad imaginaria.
En la forma bin´omica, el producto se efectua como un producto debinomios habitual:
(a+ib)(c+id) = ac+iad+icb+i2 bd = (ac−bd)+i(ad+cb) = (ac−bd, ad+cb) = (a, b)∗(c, d)
sin m´as que tener en cuenta que i2 = ii = (0, 1) ∗ (0, 1) = (−1, 0) = −1.
Con esta nueva notaci´on, suele escribirse C = {a + ib : a, b ∈ IR} y los elementos de C
se denotan por z = a + ib. Los elementos de C se representan en el plano IR2 que suele
denominarse plano complejo, al eje seabcisas se le denomina eje real y al de ordenadas eje
imaginario.
Teor´
ıa de variable compleja.

115

9 El plano complejo

Definici´
on 9.1 – Si z = a + ib es un n´
umero complejo, se llama parte real de z al valor real
Re(z) = a y parte imaginaria al valor real Im(z) = b, es decir, z = Re(z) + i Im(z).
Si la parte imaginaria de z es cero, el complejo es un n´
umero real y, sueleindicarse con
z ∈ IR. Si la parte real de z es cero se dice que es imaginario puro y, suele indicarse con
z ∈ iIR.
El cero en C es el cero real (0, 0) = 0 + i0 = 0.
Proposici´
on 9.2 – Sea z ∈ C − {0}, entonces existe un u
´nico w ∈ C tal que zw = 1.
Demostraci´on:
En efecto, si z = a + ib y w = x + iy , zw = (a + ib)(x + iy) = ax − by + i(ay + bx) y
ax − by = 1
a −b
x
1
zw = 1 = 1 + i0⇐⇒ el sistema
←→
=
tiene soluci´on
bx + ay = 0
b a
y
0
u
´nica. Pero esto es cierto, pues

a −b
= a2 + b2 = 0 al ser z = 0.
b a

Si z = a+ib, el inverso se denota por z −1 =
a
b
antes, por z −1 = aa−ib
2 +b2 = a2 +b2 − i a2 +b2 .

9.1.2

1
z

y viene dado, resolviendo el sistema propuesto

Conjugado de un n´
umero complejo

Definici´
on 9.3 – Sea z = a + ib un n´
umerocomplejo, se llama conjugado de z al n´
umero
complejo z = a − ib.
Propiedades 9.4 – Sean z, w ∈ C, entonces
a) z = z .
b) z = z ⇐⇒ z = a + i0 ∈ IR;
c) z + z = 2 Re(z);
d) z + w = z + w ;

z = −z ⇐⇒ z = 0 + ib ∈ iIR.

z − z = i2 Im(z).
z −1 = (z)−1 .

zw = z w ;

Demostraci´on:
Si z = a + ib y w = c + id, se tiene que:
a) z = a − ib = a + ib = z .
b) z = z ⇐⇒ a − ib = a +...