numeros complejos

Números Complejos
Los números complejos surgen de la
necesidad de resolver ecuaciones
cuadráticas sin solución en el campo real

Números Complejos
Hallar

los números reales que
verifican que la diferencia entre
el quíntuplo de su cuadrado y su
triple es igual a -1,25
En símbolos:
2

5 x  3 x  1,25

Tercero B

2

Números Complejos
Aplicando
3

la formularesolvente:

  3 2 

4.5.1,25

2.5

3   16
10

Tercero B

3

Números Complejos
Como

la raíz cuadrada de un
número negativo no existe en
los reales, esta ecuación no tiene
solución en este conjunto, es decir
que no existe ningún número real
que resuelva este problema.
2

5 x  3 x  1,25
(Sin solución real)
Tercero B

4

Números Complejos
Para

que la ecuaciónanterior tenga
solución, los matemáticos buscaron
una ampliación del conjunto de los
números reales con las siguientes
características:
El conjunto real está incluido en el
conjunto ampliado.
Las propiedades del conjunto real
se siguen cumpliendo en el conjunto
ampliado.
Tercero B

5

Números Complejos
E

inventaron un número cuyo
cuadrado es -1
después del año 1777, Eulerlo
denominó con la letra “i”.

2

i  1
Tercero B

6

Números Complejos
Luego:

 16 
16.  1 
16 .  1 
4i
Tercero B

7

Números Complejos

El

número i es solo un elemento
del conjunto de los números
complejos

Tercero B

8

Números Complejos
Se

llama número complejo a un
número z que puede escribirse de
la forma

z a  bi

a

y b sonnúmeros reales
Al número a se lo llama parte
real (a=Re[z])
Al número b se lo llama parte
imaginaria (b=Im[z])
Tercero B

9

Números Complejos
Dos

Números complejos son
iguales si tienen igual parte real e
igual parte imaginaria

z1  z 2
si Re z1  Re z2   Im z1  Im z2 

Tercero B

10

Números Complejos
Operaciones

con
números complejos:

Suma

yresta
Multiplicación
División

Tercero B

11

Suma
Dados z = a + bi y w = c + di

z+w

 a  bi    c  di  
 a  c    b  d i

Tercero B

12

Resta
z-w

 a  bi    c  di  
 a  c    b  d i

Tercero B

13

Suma y resta
Suma.

Ejemplo

 2  3i    4  2i 
 2  4    3    2  i
6i

Tercero B

14

Suma y restaResta.

Ejemplo

 2  3i    4  2i 
 2  4    3    2  i
 2  5i

Tercero B

15

Multiplicación
Se

aplica la propiedad
distributiva

 2  3i . 4 

2i 

2.4  4i  12i  6i
8  8i  6.  1
14  8i
Tercero B

2

16

Conjugado de un número
complejo
Dos

números complejos se
denominan conjugados si tienen
igual parte real y parte
imaginariaopuesta.
Si z = a+bi es un número
complejo,
z entonces
a  bi
es

el conjugado de z
Tercero B

17

Conjugado de un número
complejo
Ejemplos
Si

z = 2+3i, su conjugado es
Z=2-3i
Si z = 1-5i, su conjugado es
Z=1+5i
Si z = 2i, su conjugado es Z=-2i
Si z = 4, ¿Cuál es su conjugado?
Tercero B

18

Conjugado de un número
complejo
Propiedades:
1) z  z
2) z.z a 2 b 2
3) z  z 2 Re z 
4) z  z 2 Im z  i
5) z  w  z  w
6) z  w  z  w

Demostrar

las propiedades anteriores

7) z.w  z.w

Tercero B

19

División
Sean

z a  bi

con
w 0

wy c  di

,

Se

define la división de dos
números complejos como:

z
z w
 .
w w w

Tercero B

20

División
Ejemplo:
2  3i

1  2i
 2  3i  . 1  2i  1  2i  1  2i 
2  4i  3i  6i 2
1   2i 
 4  7i

5
4
7i


5
5
2

2



Tercero B

21

Números Complejos
Ahora

que está definido el
conjunto de los números
complejos y sus operaciones
veamos si podemos resolver la
ecuación que se planteo al
principio.
2

5 x  3x  1,25

Tercero B

22

Números Complejos
3    3  4.5.1,25

2.5...