Numeros continuos

Sobre la numerabilidad y el continuo

Carlos S. Chinea

Sobre la numerabilidad y el
continuo

Desde Cantor conocemos la diferencia entre lo que es numerable, discreto, y
lo que es continuo,denso. Conocemos que existe un número transfinito,
aleph sub cero, para describir lo que es discreto y otro número transfinito
para describir lo que es continuo. Cantor supuso que no hay otrosnúmeros
transfinitos entre ambos aleph. Hoy sabemos que también podía haber
supuesto lo contrario.
Dos conjuntos, A y B, se dicen coordinables, o biyectables, o equipolentes, o
también, de igual tamaño,si existe una aplicación biyectiva, una biyección, entre
ambos.
Definición 01
El conjunto A se dice coordinable con el conjunto B si existe una aplicación biyectiva

f :A→ B

A ≈ B ↔ ∃f : A → B∧ f biyectiva
Teorema 01
Si existiera el conjunto U de todos los conjuntos, la coordinabilidad de conjuntos
sería una relación de equivalencia en U que partiría a éste en clases de
equivalencia,estando constituida cada clase por todos los conjuntos de igual
tamaño.
Demostración:
Veamos que es reflexiva:

(∀A)(∃I A : A → A) / I A identidad → A ≈ A → reflexiva
Es simétrica:

A ≈ B ↔ ∃f: A → B ∧ f biyectiva → ∃f

−1

: B → A/ f o f

−1

= IB ∧ f

−1

o f = IA →

→ f −1biyectiva → B ≈ A → simétrica
Finalmente, es transitiva:

A ≈ B ↔ ∃f : A → B ∧ f biyectiva 
 →g o f : A → C ∧ g o f biyectiva → A ≈ C →
B ≈ C ↔ ∃g : B → C ∧ g biyectiva
→ transitiva
Definición 02
Un conjunto se dice que es finito si no es coordinable con ninguno de sus
subconjuntospropios, esto es, si no existe una biyección del conjunto con ninguna
de sus partes propias.
Un conjunto es infinito si es biyectable con alguno de sus subconjuntos propios.

Matemática, Física,Astronomía. Casanchi.com,

febrero, 2010

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Carlos S. Chinea

Definición 03
Se dice que dos conjuntos, A y B, tienen el mismo numero cardinal si...