Limites y continuidad numeros complejos

Límite de una función compleja

Una función f(z) se dice que tiene límite w0 cuando z tiende a z0, y
se escribe:



u
si f está definida en un entorno de z0 (a excepción tal vez de z0mismo) y si:
 real  > 0,  un real  > 0:  z  z0 , y |z - z0| < , entonces |f(z) - w0| < .

x

z0

y
z

w0

v
f(z)

En general =(, z0)

Si el límite existe,
es único.Es decir: si dado un entorno de radio  alrededor del límite, podemos
determinar un entorno de radio (, z0) alrededor de z0.

Observemos que como en el caso de variable real, la definición
delímite no nos dice cómo encontrarlo.
Demostremos que:
Utilizando la notación anterior, tenemos en este caso:
Tomando  = ,
por ejemplo,
siempre se
cumple.

Ejercicio: Demostrar que siel límite existe,
es único. (Nota: Suponer dos valores distintos
para el límite, aplicar definiciones y demostrar entonces
que ambos valores han de ser, a la fuerza, el mismo).

¿Cuál es elequivalente a límite por la derecha y por la izquierda
de variable real en el caso de variable compleja?
En el plano complejo podemos acercarnos al límite a través de
una infinidad de trayectorias.Por ejemplo:

Toda vecindad de z0 contiene
valores de Arg z en el segundo
cuadrante arbitrariamente cerca
de , pero también del tercer
cuadrante arbitrariamente cerca
de .Acercándonos por C1 y por
C2 obtenemos dos valores distintos
del límite.

Ejemplo
Esta función no está definida para z = x+iy = 0, (x = 0, y = 0).
Veamos que no existe el límite de la función cuando ztiende a 0.
Nos aproximamos al origen a lo largo del eje y. Tomando
x=0 en f(z), tenemos:
Que se aproxima a i,
a medida que nos
acercamos al origen.
(2) Tomando y=0 nos aproximamos a lo largo deleje x:
Que tiende a 1.
Como el límite por ambos
caminos no coincide, el
límite no existe.

Propiedades de los límites
Sean w0 y w'0 los límites, cuando z tiende a z0, de f(z) y g(z)...