Numeros Naturales, Enteros Y Racionales

Charallave 5 de Diciembre de 2007

Numero natural

Introducción

Numero natural es el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.
Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:
N = {0,1,2,3,4,...,10,11,12,...}
El cero, aveces, se excluye del conjunto de los números naturales.
Además de cardinales (para contar),los números naturales son ordinales, pues sirve para ordenar los elementos de un conjunto:

1° (primero), 2° (segundo),...,16° (decimosexto),...

Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y ordenar son las maselementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.

Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un numero natural, por lo que se dice que son operaciones internas.

La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia dedos números naturales puede no ser un numero natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un numero de otro, cualesquiera que sean estos.

La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de los números naturales puede no ser un numero natural (no lo es cuando el dividendono es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier numero por otro ( salvo por el cero. La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto.

PROPIEDDES DE LOS NUMEROS NATURALES

La adición de los números naturales cumple las propiedadesasociativas,conmutativa,y elemento neutro.

Asociativa:
Si a,b.c son numeros naturales cualesquira se cumple que:

(a+b)+c=a+(b+c)

ejemplo:
(7+4)+5=11+5=16

7+(4+5)=7+9=16
los resultados coinciden es decir:

(7+4)+5=7+(4+5)

CONMUTATIVA:

Si a,b son números naturales cualesquiera se cumple que:

A+b=b+a
En particular, para los números 7y4 se verifica que:

7+4=4+7Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden,

Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

A+0=A

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE LOS NUMEROS NATURALES

Lamultiplicación de los números naturales cumple las propiedades asociativa,conmutativa,elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.

ASOCIATIVA

Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:

(a .b) . c=a .(b .c )
Ejemplo:
(3 .5 ) . 2 = 15 .2 = 30
3 .( 5 .2 ) = 3 . 10 =30
Los resultados coinciden, es decir(3 .5 ) . 2=3 . ( 5 . 2 )

CONMUTATIVA

Si a ,b son números naturales cualesquiera se cumple que:

A .b = b . a

Ejemplo:
5 . 8 = 8 .5 = 40

Elemento neutro

Es 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea
El número natural a , se cumple que:

A .1 = a

Distributiva del producto respecto de lasuma

Si a, b , c son números naturales cualesquiera se cumple que:
A .( b + c )=a . b + a . c

Ejemplo:
5 . ( 3 + 8 ) = 5 . 11 = 55

5 .3 + 5.8 = 15 + 40 = 55

Los resultados coinciden, es decir,

5 . ( 3 + 8 ) = 5 . 3 + 5 . 8

NUMEROS ENTEROS

Numeros enteros: cualquier elemento del conjunto...