Numeros racionales_numeros_reales_ regla_de_ porcentajes

´
1.2. NUMEROS
RACIONALES

1.2.

11

N´
umeros racionales

Figura 1.6: Carlitos
En la secci´on 1.1 se definieron los n´
umeros racionales − llamados tambi´en fracciones − como la
umero de arriba, p, se le llama nudivisi´on o la raz´
on entre dos enteros, pq = p/q, donde q = 0. Al n´
merador y al de abajo, q, denominador. De la palabra ✭✭raz´on✮✮ se deriva el nombre ✭✭racionales✮✮
que se les da aestos n´
umeros.
Si p es divisible por q, al efectuar la divisi´on se obtiene un numero entero, es decir, un n´
umero de
Z. El conjunto de los n´
umeros racionales, que notamos Q, comprende tanto a las razones que al
efectuar la divisi´
on dan un entero como a las que no, por lo que Z ⊆ Q.
Vale la pena repasar el concepto m´
as elemental de fracci´on pq interpret´andola como la cantidad de
pastelque se obtiene al reunir una porci´on de cada pastel del resultado de dividir p pasteles cada
uno en q porciones iguales. As´ı observamos r´apidamente que 26 = 31 porque es lo mismo tomar dos
porciones de 61 que una de 13 .

En general se tiene que

np
p
= .
nq
q

Por ejemplo,
6
3
1
= = .
12
6
2
Se dice que uno reduce una fracci´
on cuando divide su numerador y su denominador por el mismo
n´
umeroentero, de manera que estos t´erminos sigan dando enteros, y cuando no es posible seguir
dividi´endolos se dice que la fracci´
on se encuentra reducida a su m´ınima expresi´
on.

12

´
´
CAP´ITULO 1. NUMEROS,
SISTEMAS NUMERICOS
Y OPERACIONES

En algunos casos puede ser conveniente multiplicar numerador y denominador por un mismo n´
umero
entero para amplificar una fracci´
on sabiendo que elvalor de la fracci´on no cambia. Como ya se
vio, otra manera de descubrir que dos fracciones pq y rs son iguales consiste en ver si son iguales
los productos del numerador de una por el denominador de la otra, ps = rq. As´ı, 34 = 12
16 porque
3 · 16 = 12 · 4.

1.2.1.

Multiplicaci´
on y divisi´
on de fracciones

Volviendo al ejemplo de los pasteles, si pedimos la tercera parte de la mitad del pastel,sabemos
que es la sexta parte. Esta situaci´
on se modela con el producto de las fracciones 13 · 12 = 61 .

Igualmente, si se pide

2
3

de

3
5

se entiende que es el producto

2
3

·

3
5

=

6
15

= 52 .

La multiplicaci´
on de fracciones se efect´
ua tomando como numerador al producto de los numeradores
y como denominador al producto de los denominadores. La preposici´
on ✭✭de✮✮ indicamultiplicaci´
on
El u
´ltimo ejemplo sirve para mostrar que se puede reducir la fracci´on que resulta antes de efectuar
las multiplicaciones, cancelando factores comunes del numerador y el denominador:

Entre los n´
umeros racionales, con la excepci´on del cero, todo n´
umero, pq tiene un inverso multiplicativo pq : el de −4, por ejemplo, es − 41 ; el de 13 es 3; y el de 43 es 43 . En general, si a es unn´
umero
1
−1
diferente de cero, su inverso multiplicativo es a , notado con frecuencia a .
Cuando se multiplica un n´
umero por su inverso multiplicativo, el resultado es 1, n´
umero que se
p q
conoce como el elemento neutro de la multiplicaci´
on: q · p = 1 ´
o simplemente a · a−1 = 1
Adicionalmente, as´ı como la substracci´on es la operaci´on que deshace a la adici´on, la divisi´on es laoperaci´on que deshace la multiplicaci´
on. Por esta raz´on a ÷ b se define como el producto de a con
el inverso multiplicativo de b: a/b = a · b−1 .
3/5 = 3 ·

3÷

1
3
=
5
5

2
5
15
=3· =
5
2
2

´
1.2. NUMEROS
RACIONALES

13
5
2
4
3

1.2.2.

=

5 3
15
· =
2 4
8

Suma y resta de fracciones

De nuevo con el ejemplo de los pasteles vemos que es muy f´acil representar la suma o la resta de
dos fraccionesque tengan el mismo denominador. Por ejemplo si queremos sumar 25 + 51 partimos el
pastel en cinco porciones, tomamos 2 porciones y le agregamos 1 porci´on para obtener 3 porciones,
es decir, 25 + 15 = 53 . Igual de f´
acil resulta la resta: 45 − 25 = 52 , con lo cual podemos resumir lo que
encontramos en la siguiente regla.

Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, se suman o...