nyquist

ANÁLISIS FRECUENCIAL DE
SIST. REALIMENTADOS. NYQUIST

ANÁLISIS FRECUENCIAL
Análisis Frecuencial de Sistemas Realimentados.
Nyquist
1. Análisis Frecuencial de los sistemas
realimentados.
2. Principio del argumento de Cauchy.
3. Criterio de Nyquist.
4. Aplicaciones del criterio de Nyquist.
5. Estabilidad relativa. Margen de amplitud y de
fase.

Bibliografía
Ogata, K., "Ingenieríade control moderna", Ed.
Prentice-Hall.
Capítulo 8
Dorf, R.C., "Sistemas modernos de control", Ed.
Addison-Wesley.
Capítulo
Kuo, B.C.,"Sistemas de control automático", Ed.
Prentice Hall.
Capítulo 9
F. Matía y A. Jiménez, “Teoría de Sistemas”, Sección
de Publicaciones Universidad Politécnica de Madrid
Capítulo 10

PRINCIPIO DEL ARGUMENTO DE
CAUCHY
ρ

F(s)
F(ρ)

Sea F(s) unafunción compleja de variable compleja, y ρ
un camino cerrado en el plano complejo, que no pasa
por puntos singulares de F(s). Entonces F(ρ) da un
número de vueltas alrededor del origen igual a la
diferencia entre el número de ceros y polos de F(s)
dentro de ρ.

PRINCIPIO DEL ARGUMENTO DE
CAUCHY
ρ

F(s)
F(ρ)

Z = número de ceros de F(s) dentro de ρ
P = número de polos de F(s) dentro deρ
N = número de vueltas de F(ρ) alrededor del origen
N = Z-P

INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE
NYQUIST
El método de Nyquist nos permite estudiar la estabilidad
de un sistema realimentado a partir de la respuesta
frecuencial en bucle abierto
r(t)
+

G(s)

y(t)

H(s)

G ( s)
M ( s) =
1 + G (s)H (s)
El sistema será estable si 1+G(s)H(S) no tiene ceros
en el semiplano positivo (losceros de 1+G(s)H(s)
son los polos de M(s))

MÉTODO DE NYQUIST
F ( s) = 1 + G ( s) H ( s) = 1 + k

∏ (s − z ) = ∏ (s − p ) + k ∏ (s − z )
∏ (s − p )
∏ (s − p )
i

i

i

i

i

Aplicando el principio del argumento de Cauchy a la
función F(s), tomando un camino que rodee el
semiplano positivo (camino de Nyquist)
P número de polos positivos
Z número de ceros positivos
N número devueltas al origen
Z=N+P

MÉTODO DE NYQUIST
Aplicando el principio del argumento de Cauchy a la función
F(s)=1+G(s)H(s).
Queremos calcular ¿cuántos ceros tiene F(s) en el semiplano
positivo? (son los polos inestables de M(s))
Tomamos un camino cerrado que rodee todo el semiplano
positivo
Trasladamos el camino de Nyquist haciendo F(ρ) para todos los
puntos del contorno.
Se conoce P(polos positivos) y contamos N (vueltas al origen,
signo positivo en el sentido horario), se calcula Z(ceros
positivos) haciendo
Z = N+P
Sistema estable si Z=0

MÉTODO DE NYQUIST
Método modificado.
Se pueden obtener los mismos resultados tomando
como función F(s) = G(s)H(s), si se cuentan las
vueltas alrededor del punto -1
ρ

F(s) = G(s)H(s)
F(ρ)

∞
-1

CÁLCULO DE LA IMAGEN DELCAMINO DE NYQUIST
Camino de Nyquist – Tramo I

I
III

II

Tramo I:
s = jω , ω ∈ (0, ∞)
La imagen corresponde con el diagrama polar

Sustituimos s=jω en F(jω)=G(jω )H(jω )
Calcula el módulo y su argumento de la función compleja
F(jω) para todos los valores de ω, se obtiene el diagrama
polar (Nyquist) para ese tramo.
Ayuda para dibujar este tramo: dibujar el diagrama de
Bode de F(jω)y después ir pasando los puntos (módulo y
argumento) a un diagrama polar o de Nyquist.

CÁLCULO DE LA IMAGEN DEL
CAMINO DE NYQUIST
Camino de Nyquist – Tramo II

Tramo II

II

I

s = Re jθ
R →∞

III

θ:

π
2

→0→−

F ( Re iθ ) = G ( Re iθ ) H ( Re iθ )
m

iθ

lim F ( Re ) = lim K

R→∞

R→∞

∏
i =1
n

∏

( Re iθ − z i )

0
=
K
( Re iθ − p i ) mDiagrama de Nyquist
Contar el número de vueltas alrededor de -1 de la curva, es
el valor de N (positivo en sentido horario).

ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD
Dado un sistema en bucle cerrado

F ( s) = 1 + G ( s) H ( s)
Para estudiar su estabilidad:

r(t)
+

G(s)

y(t)

H(s)

P : número de polos de G(s)H(s) positivos
Trazar el Diagrama de Nyquist
Contar N el número de vueltas...