Números Complejos

Tema I: Complejos

9.1. DEFINICIÓN Se define como un par ordenado de números reales. C={(a,b)/a,b∈R} .
9.2. PARTES REAL E IMAGINARIA En z= (a,b), a la componente ” a ” se le llama parte real y a”b ” parte imaginaria.   El subconjunto C de la forma (a,0), es isomorfismo al conjunto R. (a,0) = a Por otro lado, los complejos de la forma (0,b) , reciben el nombre de imaginarios puros. Enparticular, al número (0,1) se le llama unidad imaginaria y lo representamos por i.

9.3. POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA
i 0 = 1 ; i = (0,1) i 2 =(0,1)(0,1)=(−1,0) = −1 ; i 3 = i 2 * i = -1 * i = - i    Si k = 4 → Si k = 4 + 1 Si k = 4 + 2 Si k = 4 + 3 ������ ������ = 1 → ������ ������ = ������ → ������ ������ = −1 → ������ ������ = −������

9.4. FORMA BINÓMICA

(a,b)=(a,0)+(0,b) =(a,0)+(b,0)(0,1)= a+bi

((0,b) = (b,0)(0,1))

������, ������ ∗ ������, ������ = ������������ + ������������ ������ + ������������ ������ + ������������ ������ 2 = ������������ + ������������ ������ +������������ ������ − ������������ = ������������ − ������������ + ������������ + ������������ ������

9.5. OPERACIONES EN FORMA BINOMICA La utilización de la forma binómica nos permite operar con los complejos como sifueran polinomios. Operar normalmente para suma, resta y producto. Para cociente multiplicar numerados y denominador por conjugado. Dado el complejo z=a+bi, llamaremos complejo conjugado a ������=a−bi. 9.6. MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO Dado z=a+bi, se define el módulo como |z|= ������ ∙ ������ = Propiedades a) ������ ≥ 0 c) ������1 + ������2 ≤ ������1 + ������2
1

������ + ������������ ∙(������ − ������������) = ������2 + ������ 2

b) ������1 ∙ ������2 = ������1 ∙ ������2 y

������1 ������2

=

������1 ������2

siempre que ������2 ≠ 0

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9.7. ARGUMENTO DE UN NÚMEROCOMPLEJO Dado z=a+bi, se define su argumento como aquel ángulo θ ∈ [0,2π) tal que,
 sin ������ =
������ ������

y cos ������ =

������ ������

. Por lo que tan...