Números Complejos

Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ingeniería
División de Ciencias Básicas
Coordinación de Ciencias Aplicadas

“Números Complejos”

Alumno: Trejo Cerón Carlos

Grupo: 04

Materia: Matemáticas Avanzadas

Profesor: Ing. Juan Aguilar Pascual

Números Complejos
Es cualquier numero que se pueda escribir de la forma a+bi, en donde a y b son números reales e i es launidad imaginaria.
En el número complejo a+bi, a se le llama parte real, y b recibe el nombre de parte imaginaria.
Sabemos que la unidad imaginaria es i y esta tiene dos propiedades:
i=-1
i2=-1
Para dar una mejor explicación de los números complejos necesitaremos algunas definiciones expuestas en la siguiente tabla:

Terminología | Definición | Ejemplos |
Numero Complejo | a+bi, donde a y bson números reales e i2=-1 | 3, 2+i, |
Numero Imaginario | a+bi con b≠0 | 3+2i, -4i |
Numero Imaginario Puro | bi con b≠0 | -4i, i |
Igualdad | a+bi=c+di si y solosi a=c y b=d | x+yi=3+4i, si y solo si x=3 y y=4 |

Cabe aclarar que los números imaginarios puros son subconjunto de los números imaginarios y los números imaginarios a su vez son subconjunto de los números complejos.Operaciones Fundamentales
Las cuatro operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división se llaman operaciones fundamentales. Cuando estas operaciones se aplican a números complejos sus definiciones son tales que obedecen todas las leyes del algebra para números reales con dos excepciones. Una excepción se ah observado ya, a saber, que i2=-1, que es una propiedad que no poseen los númerosreales y la otra excepción es la siguiente Ley de los Números Reales:
Para a>0 y b>0, a*b=ab
Esta ley no es valida para los números imaginarios. Así tenemos,
Para a>0 y b>0, -a*-b≠-a-b=a*b
El resultado correcto se obtiene de la siguiente manera:
-a*-b=ai*bi=i2ab =-ab
Para evitar este error siempre escribiremos los números complejos en la forma a+bi, la cual se llama formacanónica, y haremos operaciones con i como con cualquier otra literal, remplazando al final las potencias de i de la siguiente manera:
i2=-1
i3=i2*i=-i
i4=(i2)2=(-1)2=1
i5=i4*i=i
…
Se darán las definiciones de las cuatro operaciones fundamentales para dos números complejos cualesquiera a+bi y c+di, sobrentendiéndose que el resultado final también quedara expresado en la forma canónica de unnumero complejo.
(1) Adición. Para sumar dos o más números complejos, se suman separadamente las partes reales e imaginarias del mismo modo como se reducen los términos semejantes en la adición de expresiones algebraicas ordinarias.
a+bi+c+di=(a+c)+(bi+di)
a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i
Esta última igualdad constituye la definición para la suma de dos números complejos.
(2) Sustracción. Para restar unnúmero complejo de otro, se restan las partes reales e imaginarias.
a+bi-c+di=(a-c)+(bi-di)
a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i
Esta última igualdad constituye la definición para la resta de dos números complejos.
(3) Multiplicación. El producto de dos números complejos se obtiene multiplicándolos como binomios ordinarios y luego remplazando i2 por –1.
a+bic+di=ac+adi+cbi+bdi
a+bic+di=ac-db+ad+cbi
Estaúltima igualdad constituye la definición para el producto de dos números complejos.
(4) División. Para expresar el cociente de dos números complejos como un solo numero complejo, utilizamos un proceso análogo a la racionalización de un denominador con radicales en una fracción.
En este caso, utilizaremos el conjugado del denominador en lugar del factor de racionalización.(a+bi)(c+di)=(a+bi)(c+di)*(c-di)(c-di)
=ac-adi+bci-bdi2c2-d2i2=ac+bd+bc-adic2+d 2
(a+bi)(c+di)=(ac+bd)(c2+d2)+(bc-ad)(c2+d2)i, c+di≠0

Representación Rectangular
Hemos visto que los números reales pueden representarse geométricamente como puntos en una línea recta. Pero tratándose del número complejo x+yi, se hace necesario representar tanto al número real x como al número imaginario puro yi. Esto...