números complejos


Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa como , siendo  el conjunto de los reales se cumple que . Los números complejos incluyen todas las raícesde los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un númeroreal y un número imaginario(que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los númeroscomplejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y lastelecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Estecuerpo contiene a los números reales y los imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra— pero que se demuestra aún en un curso de variable compleja —, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejosreciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.1


Propiedades de las operaciones básicas
Las operaciones básicas son la suma, la resta, la multiplicación, la división y la potencia, aunque esta última es una forma abreviada de la multiplicación.
Propiedades de la suma
La suma es una de las operaciones más importantes que hay, por lo tanto hay que saber bien como se hace, y cada unade sus propiedades, la suma tiene cuatro propiedades principales, las cuales son:
Propiedad conmutativa: La propiedad conmutativa indica que al cambiar el orden de dos sumandos, no cambiara el resultado, por ejemplo si sumamos 5 + 3 nos va a dar 8, y al revertir las cifras; 3 + 5 seguirá dando 8, esto comprueba que al alterar el orden de las cifras el resultado será el mismo.
Propiedadasociativa: Esta propiedad es parecida a la conmutativa, la diferencia es que esta señala que cuando se suman tres o más números independientemente como estén ordenados el resultado es el mismo. Ejemplo: 7 + 5+ 9 es 21, al igual que 9 + 7 + 5.
Propiedad distributiva: La propiedad distributiva dice que la suma de dos números multiplicada por un tercero, va a dar igual resultado que multiplicar cada uno deesos números individualmente por el mismo tercero y luego sumarlos. Ejemplo: 3 (4 + 2) = 18, al igual que (3 x 4) + (3 x 2) = 18.
Elemento neutro: Trata de que, al sumar cualquier número con el cero, va dar de resultado el número original, un ejemplo: 4 + 0 = 4.

Propiedades de la resta
Igual que la suma la resta también tiene propiedades, solo que no las mismas que las de la suma, las másimportantes son dos, sin embargo también hay que nombrar algunas reglas contrarias a la suma que tiene la resta.
Propiedad no conmutativa: Al contrario de la suma, a la resta si le es cambiada el orden de sus cifras cambia su resultado, porque el orden que tienen las cifras influye mucho en el total. Ejemplo: 3 – 1 = 2, pero 1 – 3= -3, es decir, en ocasiones el resultado suele pasar a ser un númeronegativo, cambiando drásticamente el total.
Propiedad no asociativa: De esta propiedad al igual que la conmutativa también carece la resta, ya que es muy parecida a la anterior, por lo tanto sucede lo mismo, el resultado cambiará si alteran el orden de las cifras.
Propiedad modulativa: También llamada elemento neutro, esta, dice que al restar cualquier número por el cero, va a dar de...