Obtención De Serie De Fourier Para Onda Cuadrada De Período T=0.01

1) El objetivo de este trabajo es encontrar una función f*(t) que aproxime a una función de onda cuadrada, mediante una serie infinita de funciones periódicas tal como se haría con el desarrollo de series de Fourier, pero utilizando el método de los mínimos cuadrados cuyo desarrollo puede ser expresado mediante la siguiente forma:
f*t=n=0∞Cn∙φn(t)

En donde los coeficientes Cn del polinomioserán determinados mediante la resolución de una matriz detallada más adelante y los ϕn(t) son las bases del mismo.
Dado que la función que aproximamos es periódica usamos como bases a funciones periódicas detalladas a continuación:

φ0t=1 ; φ1t=cos2πtT ; φ2t=sen2πtT ; φ3t=cos2π2tT ; φ4t=sen2π2tT

φ5t=cos2π3tT ; φ6t=sen2π3tT ; φ7t=cos2π4tT ; φ8t=sen2π4tT ; etc…Generalizando, para n par ≠ 0,

φnt=sen2πkntT=senρt con ρ=2πknT
y para n impar,

φnt=cos2πkntT= cos⁡ρt con ρ=2πknT

donde kn es una expresión que genera los valores de las armónicas dependiendo del n en cuestión (ver expresión de kn en el anexo)

Siguiendo los lineamientos básicos para la aproximación por mínimos cuadrados podemos asegurar que los coeficientes Ckresultan de la resolución de la siguiente matriz:

φ0t,φ0t⋯φnt,φ0t⋮⋱⋮φnt,φ0t⋯φnt,φntC0⋮Cn=ft,φ0t⋮ft,φnt

Donde f(t) es la función periódica y discontinua a la cual queremos aproximar detallada a continuación;

ft=1, 0<t<T2-1, T2<t<T
cuyo gráfico es el siguiente:

y las expresiones φnt,φnt y ft,φnt son los productos internos entre las funciones correspondientes.

Definiendo alproducto interno entre dos funciones g(t) y h(t) como:

gt,ht=abgt∙ht dt

podemos comenzar a calcular los coeficientes de la matriz.

Para n = 0, el cálculo de φ0t,φ0t es el siguiente:

φ0t,φ0t=φ0t2=0Tφ0t∙φ0t dt

=0T12 dt=tT0=T

Mientras que el de los ft,φ0t es:

ft,φ0t=0T21 dt+T2T-1 dt

=tT20+-tTT2= T2-0+-T+T2=0
Para n impar, el cálculo de los φnt,φnt es el siguiente:φnt,φnt=φnt2=0Tφnt∙φnt dt

=0Tcos2ρt dt=t2+14ρsen2ρtT0

=T2+T4ρsen2ρT-02+04ρsen2ρ0=T2

Mientras que el de los ft,φnt es:

ft,φnt=0T2cosρt dt+T2T-cosρt dt

=1ρsenρtT20+-1ρsenρtTT2

=1ρsenρT2-1ρsenρ0+-1ρsenρT--1ρsenρT2

Eliminando el segundo seno dado que seno de 0 es igual a cero y remplazando con ρ=2πknT dentro de los senos restantes, entonces:

1ρsenknπ+-1ρsen2πkn--1ρsenknπ=1ρsenknπ+0+1ρsenknπ=2ρsenknπ=Tknπsenknπ

Para n par ≠ 0, el cálculo de los φnt,φnt es el siguiente:

φnt,φnt=φnt2=0Tφkt∙φkt dt

=0Tsen2ρt dt=t2-14ρsen2ρtT0

=T2-T4ρsen2ρT-02-04ρsen2ρ0=T2

Mientras que el de los ft,φnt es:

ft,φnt=0T2senρt dt+T2T-senρt dt

=-1ρcosρtT20+1ρcosρtTT2

=-1ρcosρT2-1ρcosρ0+1ρcosρT-1ρcosρT2

Eliminando el segundo coseno dado que coseno de 0 es igual a uno y remplazandocon ρ=2πknT dentro de los cosenos restantes, entonces:

-1ρcosknπ+1ρ+1ρcos2πkn-1ρcosknπ

=-1ρcosknπ+1ρ+1ρ+-1ρcosknπ=2ρ-2ρcosknπ

=Tknπ-Tknπcosknπ

Así pues tenemos calculados los valores de las diagonales de la matriz y su extensión. Con respecto a los coeficientes no diagonales de la matriz, estos valen cero por haber escogido una base ortogonal y el producto interno de tales bases escero. No se demuestra en este trabajo el cálculo de los mismos porque está más allá del fin práctico de este trabajo.

La matriz general a resolver estaría expresada como

T00T2⋯0⋯0⋮⋮00⋱⋮⋯T2C0⋮⋮Cn=0TknπsenknπTknπ-Tknπcosknπ⋮

De este modo podemos decir que los valores de Cn se obtienen directamente de resolver el siguiente cociente,

Cn=ft,φntφnt2
que toma según la paridad de n distintasexpresiones.

Para n = 0

C0=0T=0

Para n impar:

Cn=TknπsenknπT2=2knπsen(knπ)

Para n par ≠ 0:

Cn=Tknπ-TknπcosknπT2=2knπ-2knπcosknπ

Y de esta manera nos queda que la expresión de Fourier que aproxima a f(t) es la siguiente:
f*t=C0∙φ0(t)+n impar∞Cimpar∙φimpart+n par∞Cpar∙φpar(t)

f*t=n impar∞2knπsen(knπ)∙cos2πkntT+n par∞2knπ-2knπcosknπ∙sen2πkntT

Operando para distintos...