Oferta Y Dualidad

ECONOMIA AGRARIA

ANALISIS ECONOMICO DE LA
OFERTA
EL ENFOQUE DUAL Y SUS
APLICACIONES
Daniel Lema
UCEMA

La Función de Producción
•

•

Dados los insumos x=(x1,x2,…,xn), y el
producto y, tenemos:

y f ( x1,..., x n ) f ( x )

Propiedades:

f / x  0

•

Creciente:

•

Cuasi-cóncava:

•
•

Si

f ( x 0 ) f ( x1 )

Entonces

y

0  1

f (x 0  (1  ) x1 ) f ( x 0 )

La Función deProducción


Isocuantas y Convexidad:
X2
x1
f(x)=y1>y0
x0+(1-)x1

x0

f(x)=y0
X1

Retornos a Escala


Supongamos que la función de producción es:


y f ( x ) x

=1  retornos a escala constantes


Duplicando los insumos, se duplica el producto



>1  retornos a escala crecientes: duplicando los
insumos más que se duplica el producto



<1  retornos a escala decrecientes: duplicando losinsumos menos que se duplica el producto

DUALIDAD EN PRODUCCION

DUALIDAD EN PRODUCCION




Concepto de Dualidad: si existe una función de
costo que cumpla ciertas condiciones de
regularidad, también existe una función de
producción y ambas representan la misma
tecnología.
La misma relación se encuentra entre la función
de beneficios y la función de producción.

DUALIDAD EN PRODUCCION
Estoimplica que hay diferentes maneras de
representar la misma tecnología:
 A través de la función de producción (enfoque
primal)
 A través de las funciones de costos y beneficios
(enfoque dual).

Usos del Enfoque Dual







Es un camino más fácil para obtener funciones de ofertas
de productos y de demanda de insumos.
El dual se puede usar también para estimar y descomponer
la ineficiencia encostos, a través de una frontera de costos
y sus respectivos componentes, eficiencia técnica y
asignativa.
El dual hace posible también la medición de la eficiencia
en beneficios.
Las funciones de Costo y de beneficios pueden trabajar
fácilmente con múltiples productos e insumos.
Las funciones de Costos y beneficios facilitan una clara
distinción entre insumos fijos y variables.

Función debeneficios Dual

xi = insumo i
wi = precio insumo i
Y = producto
P = precio

Sustituyendo en y = f(x)

x  w1 , w2 , p 

y *  w1 , w2 , p 

Demanda de Insumos
(no condicionada)

Función de oferta

*
i

Resolver

Resolver

Max p * y  C  w1 , w2 , y  

Max p * f ( x1 , x 2 )   x1 w1  x 2 w2  

y

x1 , x 2

Sustituyendo y* en
π = p*y – C(wi,y)

Sustituyendo x* en
π = p*f(xi) – x1w1-x2w2Diferenciando π con respecto a wi
Lema de Hottelling

*
 xi  w1 , w2 , p  0
wi

Diferenciando π con respecto a p

 w1 , w2 , p 
Función de beneficios

Lema de Hottelling


 y *  w1 , w2 , p   0


Función de Costos Dual
Resolver

Min w1 x1  w2 x2 
_

st : y  f ( x1 , x2 )
_


x i  w1 , w2 , y 



Demanda
Condicional de
insumos

Sustituyendo en w1x1+w2x2

Diferenciando conrespecto a wi
Lema de Shephard
__

__
C ( wi , y )


 xi  w1 , w2 , y 
wi



donde:
xi = insumo i
wi = precio insumo i
Y = producto
_


C  w1 , w2 , y 



Función de
Costos dual

Funciones de Dualidad:
Corto y Largo Plazo


Costo Total (CT)

= f(wi; y)



Costo Variable Total (CVT)

= f(wi; y, z)



beneficiosTotal (π)

= f(p, wi)



beneficios Variable Total (πVT) = f(p, w i; z)Costos y Beneficios

Función de Costos: Propiedades
Si f es continua y estrictamente creciente, entonces c(w,y)
es
1. Cero cuando y=0
2. Creciente en w.
3. Homogénea de grado uno en w.
4. Cóncava en w.
5. Si f es estrictamente cuasi-cóncava podemos aplicar
el lema de Shephard: c(w,y) es diferenciable en w
(w0, y0 ) siempre que w>>0 y
0

0

0

0

xi ( w , y ) c( w , y ) / wi

Maximización debeneficios


Mercado Competitivo: Los productores
individuales son tomadores de precios de los
insumos y productos (bienes).



Comportamiento Racional: Las firmas
maximizan beneficios (beneficio es la
diferencia entre ingresos y costos de
producción)

Propiedades de la Función de beneficios


Dado f, y considerando un p0 y w0, la
función de beneficios (p,w), estará bien
definida, será...