ojos de perro azul


Funciones y Procesos Infinitos
Sumatorias
1. Concepto de sumatoria:
A menudo resulta difícil trabajar con todos los elementos de una determinada sucesión, considerándolos como sumandos.
Parafacilitar este trabajo se ha convenido representar la adición de los términos en forma abreviada, mediante el signo , acompañado de la fórmula o término general que define a la sucesión y del rango devalores que tomará la variable considerada en esa fórmula.
Se denomina sumatoria de una sucesión , a la forma abreviada de escribir sus términos expresados como sumandos:
Se denota:Ejemplos:
1+2+3+...+ n=
12 +22+32+...+n2 =

2. Propiedades de las sumatorias:
Sumatoria de una constante:
Si c1=c2=c3=...=cn=c, constante, entonces:
Ejemplo:

50 veces
Sumatoria del producto deuna constante por los términos de una sucesión:
Si c es una constante, entonces:

Ejemplo:


Sumatoria de una suma o resta de términos de dos o más sucesiones:
Si y son sucesiones,entonces se cumple que:


Ejemplo:
Propiedad Telescópica de las sucesiones:
El desarrollo de algunas sumatorias tiene la particularidad de que casi todos sus términos se anulan quedando estas reducidasa sólo dos términos. Esta propiedad se denomina Propiedad telescópica de las sumatorias.
Observemos el siguiente caso:



Luego:


Con el mismo razonamiento se tiene:


La PropiedadTelescópica también es válida para la suma de los recíprocos:


La propiedad Telescópica es de gran utilidad para hallar una expresión que permita calcular directamente el valor de alguna sumatoria opara demostrar si una sumatoria es igual a una expresión o fórmula dada, como por ejemplo:

Calculemos una fórmula para:


Si expresamos el numerador de la fracción como: (1+k-k), tenemos:Aplicando la propiedad telescópica:



Por lo tanto:



Ejemplos resueltos:

1) 2 (= 20
2)
3)
4)
5)
6)



Ejercicios: Calcula las siguientes sumatorias.
1)

2)

3)=...