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PAU

Código: 36

SETEMBRO 2012
MATEMÁTICAS APLICADAS ÁS CIENCIAS SOCIAIS II
(Responder solamente a los ejercicios de una de las opciones. Puntuación máxima de los ejercicios de cada opción:
ejercicio 1 = 3 puntos, ejercicio 2 = 3 puntos, ejercicio 3 = 2 puntos, ejercicio 4 = 2 puntos)

OPCIÓN A
1)


(a) Determina la matriz X sabiendo que X −1 ⋅ B t = A + B , siendo A =  1 1
 0 −1
 −1 1 
t
, B = 
 , B la matriz

 1 1

traspuesta de B y X −1 la matriz inversa de X.
a 0
2
(b) Dada A = 
 , calcula, si lo hay, algún valor de “a” para el que se verifique que A sea la matriz identidad.
 a 1
2) La cantidad de agua (en cientos de litros) que llega a una depuradora para su procesado a lo largo de cierto día, viene
estimada por la función C(t ) =−2t 3 + 75t 2 − 600t + 2000, 0 ≤ t ≤ 24 , en donde t es el tiempo en horas transcurrido a partir
de las 0:00 horas.
(a) Determina en qué periodos se produce un aumento y una disminución de la cantidad de agua.
(b) Calcula la cantidad máxima y mínima de agua.
(c) Calcula el punto de inflexión y representa la gráfica de la función C(t), 0 ≤ t ≤ 24.
3) Se sabe que en cierta población de personas de18 o más años, el 60% está en contra de la eutanasia.
(a) Se realiza una encuesta a una muestra aleatoria de 150 personas de esa población, ¿cuál es la probabilidad
de que más de la mitad se manifieste en contra de la eutanasia?
(b) Si en esa población el 68% son mayores de 65 años y el 75% de ellos está en contra de la eutanasia, ¿qué
porcentaje de los que tienen entre 18 y 65 años está encontra de la eutanasia?
4) El tiempo de espera para la realización de cierta prueba médica en un hospital sigue una distribución normal con
desviación típica de 5 días. La gerencia afirma que “el tiempo medio de espera para la realización de dicha prueba es a
lo sumo de 20 días”. Para contrastar esa afirmación se ha tomado una muestra aleatoria de 100 pacientes que
precisaban hacerse la prueba,resultando que el tiempo medio de espera ha sido de 21 días.
(a) Plantea un test para contrastar la hipótesis que afirma la gerencia frente a que el tiempo medio ha sido
superior. ¿A qué conclusión se llega con un nivel de significación del 5%? ¿Se llegaría a la misma conclusión con un
nivel de significación del 1%?
(b) Explica, en el contexto del problema, en que consisten los errores de tipoI y de tipo II.
OPCIÓN B
1) Se considera la función f ( x, y ) = x + 2 y sujeta a las restricciones: x + y ≤ 9; y − x ≤ 5; 2y ≥ 4 − x; 0 ≤ x ≤ 6; y ≥ 0
(a) Representa la región R del plano determinado por el conjunto de restricciones y calcula sus vértices.
(b) Calcula los puntos de R donde la función alcanza sus valores máximo y mínimo. Calcula esos valores.
(c) Responde al apartadoanterior si se elimina la restricción y ≥ 0 del anterior conjunto de restricciones.
2) En una empresa la relación entre la producción x (expresada en miles de toneladas) y el coste medio de fabricación
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C(x) (expresado en miles de euros) es del tipo C( x) = 2 + x + , 1 ≤ x ≤ 10 .
x
(a) Calcula la cantidad de producción que minimiza el coste medio de fabricación y el coste medio mínimo.
(b) Calculala cantidad de producción que maximiza el coste medio de fabricación y el coste medio máximo.
(c) Si no desean superar los 12 mil euros de coste medio de fabricación ¿entre qué valores deberá estar
comprendida la producción?
3) La probabilidad de obtener rentabilidad positiva en el plazo de un año con un fondo de inversión recientemente
constituido es 0´4. Si en el primer año se ha obtenidorentabilidad positiva, la probabilidad de obtenerla en el segundo
año es 0´6. La probabilidad de no obtener rentabilidad positiva ni en el primero ni en el segundo año es 0´48.
(a) ¿Qué probabilidad hay de obtener rentabilidad positiva en el segundo año?
(b) Calcula la probabilidad de obtener rentabilidad positiva en alguno de los dos años.
4) (a) Se quiere estimar el porcentaje de...