ondas mecanicas

ECUACION DE LA RECTA EN FORMA SIMETRICA

1) Ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, 4, -9); B (10, 14, -2)
de A a B
V=A-B
Solución
a1= ( x2 –x1 )=(10-1)=9
a2= ( y2 –y1 )=(14-4)=10
a3= ( z2 –z1 )=(-2+9)=7
Vector director de la recta
FORMA SIMETRICA

x 1 y  4 z  9


9
10
7

2) Ecuación de la recta que pasa por los puntos A (4, 2, 1); B (-7, 2, 5)
Solucion
de A aB
V=A-B
a1= ( x1 –x2 )=(4+7)=11
a2= ( y1 –y2 )=(2-2)=0
a3= ( z1 –z2 )=(1-5)=-4

FORMA SIMETRICA

x7 z 5

, y2
11
4

3) Ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1, 2, 3); B (-6, 4, -3)
de A a B
V=A-B
a1= ( x2 –x1 )=(-6-1)=-7
a2= ( y2 –y1)=(4-2)=2
a3= ( z2 –z1 )=(-3-3)=-6

FORMA SIMETRICA

x 1 y  2 z  3


7
2
6

1

ECUACION DE LA RECTA EN FORMAPARAMETRICA

ENCONTRAR LAS ECUACIONES PARAMETRICAS DE LA RECTA QUE PASA
POR LOS PUNTOS:
1) Ecuación de la recta que pasa por los puntos A (2, 3, 5); B (6, -1, 8);
Solución
si a = A-B se toma como referencia a B
(x, y, z)= (2+ t (6-2), 3+ t (-1-3), 5+ t (8-5))
(x, y, z)= (2+ t (4),
3+ t (-4),
5+ t (3))
x = 2+4 t;
y = 3 - 4 t; Ecuaciones Parametricas
z = 5+3 t;
2) Ecuación de la rectaque pasa por los puntos A (1, 0, 0);
B (3, -2, -7)
Solución
(x, y, z)= (1+ t (3-1), 0+ t (-2-0), 0+ t (-7-0))
(x, y, z)= (1+ t (2), t (-2),
t (-7))
x = 1+2 t;
y = - 2 t;
Ecuaciones Parametricas
z = -7 t;

3) Ecuación de la recta que pasa por los puntos A (5, -2, 4); B (2, 6, 1)
Solución
(x, y, z) = (5+ t (2-5), -2+ t (6+2), 4+ t (1-4))
(x, y, z) = (5+ t (-3), -2+ t (8),
4+ t (-3))
x= 5-3 t;
y = - 2 +8t; Ecuaciones Parametricas
z = 4-3 t;

4) Obtener las ecuaciones parametricas de la recta que pasa por P(6, 4, -2) y es
paralela a la recta x  1  y  z  5  t
2

Solución
t = x/2;

3

6

t = 1-y / 3;

t = z-5 /6;

x = 6+2 t;
y = 4 – 3 t; ecuaciones Parametricas
z = -2+6 t;
2

ECUACION EN FORMA VECTORIAL DE LA RECTA

1) Ecuación de la recta que pasapor los puntos P (1, 2, 1);

Q (3, 5, -2);

a =Q– P = ( x2 –x1, y2 –y1, z2 –z1 ) = ( a1 , a2, a3 )
(x, y, z)= P + t a
a = (3-1, 5-2, -2-1)= (2, 3, -3)
(x, y, z) = (1, 2, 1) + t (2, 3, -3)

2) Ecuación de la recta que pasa por los puntos P (10, 2, -10); Q (5, -3, 5);

a =Q – P = ( x2 –x1, y2 –y1, z2 –z1 ) = ( a1 , a2, a3 )
(x, y, z)= P0 + t a
a = (3-1, 5-2, -2-1)= (2, 3, -3)
(x, y, z)= (1, 2, 1) + t (2, 3, -3)
Ecuación vectorial
Ecuaciones para métricas

3

Ecuaciones simétricas
1
3) Ecuación de la recta que pasa por los puntos P  ,
2

1
  3
 , 1 Q   ,
2
,  2

5
1
,  
2
2

Z

Q

P

 3 1
a = P-Q =    ,
 2 2

1
(x, y, z) =  ,
2

5 1
1 
 ,   1 =
2 2
2 

3

  2, 3,  
2  vector

1
3


 ,1 + t   2, 3,  
2  Ecuación de la recta
2



4

A) Calcular el punto de intersección entra La y L b
La

x1 = 4 + t
y1 = 5 + t
z 1=-1 + 2t

Lb

4 + t = 6 + 2s

condición inicial: x1 =x2; y1 =y2; z1 =z2

(1)

5 + t = 11 + 4s
-1 +2t= -3 + 5s

x2 = 6 + 2s
y2 = 11 + 4s
z2 =-3 + s

(2)
(3)

despejar t en ecuación (1)
t = 6+2s-4= 2+2s
Sustituyo t en (2)5+(2+2s)=11+4s
7+2s=11+4s
s= -2
El Punto de Intersección es: (2, 3, -5)

sustituyo en Lb a s
x = 6+2(-2)= 2
y =11+4(-2)= 3
z = -3+(-2) = -5
La

x = 2, y =3, z =-5

B) Hallar el ángulo entre dos rectas La y Lb

La

x=4- t
y = 3 + 2t
z = -2t

Lb

x = 5 + 2s
y = 1 + 3s
z = 5 - 6s

cos  

para La
para Lb

a = (-1, 2, -2)
a = ( 2, 3, -6)

a  b  2  6  12 16


a b3*7
21

  cos 1

16
 40.36
21

1.- Encuentra las ecuaciones para métricas de la recta que es tangente la curva dada.
r(t)=(3sent)i+(3cost)j+4tk
r’(t)=3costi-3sentj+4k
x=3cost; y=-sent; z=4

t=0

cos0=1; sen0=0

x=3; y=0; z=4
5

Ecuación de la recta
Encuentre las ecuaciones paralelas, Simétricas y la ecuación vectorial para
cada una de las rectas:
A) pasan por el...