Ondulatoria



TEMA 4
CUADRADOS LATINOS
(Hicks, cap. 4; Winer, cap. 9; Letner, p. 265 y ss.; Kempthorne, pág. 187)

Introducción
Volvamos al ejemplo de las ruedas.
Es posible que la posición en la que coloquemos el neumático influya en el problema de la comparación de los lotes. De hecho, la experiencia demuestra que las ruedas traseras presentan desgaste diferente e incluso podemos encontrardiferencias de pérdidas en ambos lados de un mismo coche.
En el diseño por bloques aleatorizado, los cuatro lotes se aleatorizaban en las cuatro
ruedas de cada coche sin tener en cuenta la posición. El efecto de la posición puede equilibrarse rotando los neumáticos cada 5000 km, haciendo cada lote 5000 km en cada posición. Si esto no es posible, la posición puede suponer otra restricción a laaleatorización de tal forma que cada lote no sólo se usa una vez en cada coche sino también una sola vez en cada posición: delantera derecha, delantera izquierda, trasera derecha, trasera izquierda. Esto da lugar a un nuevo diseño.

Cuadrado latino
Un diseño en el que cada tratamiento aparece sólo una vez en cada fila (posición) y una
sola vez en cada columna (coche) se llama diseño de cuadrado latino(Latin square design). El interés se centra en un solo factor, los tratamientos, pero se imponen dos restricciones a la aleatorización.

Coche
Posicion
I
II
III
IV
1
C
D
A
B
2
B
C
D
A
3
A
B
C
D
4
D
A
B
C

Un diseño de este tipo sólo es posible cuando el número de niveles de ambas restricciones sea igual al número de niveles del tratamiento.

Consideremos, porejemplo, un experimento en el que administremos tres tratamientos a tres individuos. El orden en el que los individuos reciben los tratamientos puede ser completamente aleatorizado (diseño por bloques) o aleatorizado bajo la condición de “equilibrio” requerida para un cuadrado latino. Designemos los tratamientos por 1 a , 2 a y 3 a . Una asignación equilibrada respecto al orden de administraciónpuede ser.


Orden
Individuo
1
2
3
1
a1
a2
a3
2
a3
a1
a1
3
a2
a3
a1

Si se sigue este plan, cada tratamiento se aplica el primero una vez, el segundo una vez y el tercero una vez. Si existe un efecto adicional sistemático asociado con el orden de administración del tratamiento, este efecto puede evaluarse. De haberse aleatorizado el orden de administración independientemente paracada sujeto, no se habría obtenido en general el equilibrio deseado, y no podría haberse evaluado el efecto del orden.


Dos cuadrados latinos se dicen ortogonales si, al combinarlos, cada par de símbolos no ocurre más de una vez en el cuadrado compuesto. Por ejemplo, consideremos los siguientes cuadrados latinos 3x 3.


Combinando (1) y (2) obtengo
obien

En esta combinación 1 2 a b aparece más de una vez, por lo que los cuadrados (1) y (2) no son ortogonales.

Si combinamos (1) y (3) obtenemos



En este caso no se repite ninguna combinación de tratamientos; hay nueve posibles combinaciones de los tratamientos que pueden formarse con los tres niveles del factor A y los tres del factor C; cada una de ellas aparece en elcompuesto (composite); por consiguiente, los cuadrados (1) y (3) son ortogonales.

Una colección de p-1 cuadrados latinos de tamaño (dimensión) p_p se dice que forman un conjunto completo (complete set) si cada cuadrado de la colección es ortogonal a todos los demás. Como mucho, cada conjunto completo tiene p-1 cuadrados.

Para el caso 4x 4, los siguientes constituyen un conjunto completoHay muchos conjuntos de este tipo para cuadrados 4x 4. Sin embargo, ninguno tiene más de tres cuadrados.

No siempre es posible encontrar un cuadrado latino ortogonal a un cuadrado dado. Por ejemplo, no existen cuadrados ortogonales para un cuadrado latino 6x 6 (ó 10x 10).

En general, existen conjuntos completos de cuadrados si la dimensión del cuadrado puede ponerse como una potencia...