Operacion De Monomios

Operaciones con polinomios

Dados los polinomios , de la forma general:

o de forma compacta mediante el Sumatorio de los términos del polinomio:

podemos definir como operaciones con polinomios, las operaciones aritméticas o algebraicas, que partiendo de uno o más de esos polinomios nos da unos valores u otro polinomio, según la operación de que se trate.
Valor numérico de un polinomio enun punto
Partiendo de un polinomio , el cálculo del valor numérico que ese polinomio toma para un valor concreto de , , se obtiene sustituyendo la variable del polinomio por el valor y se realizan las operaciones. El resultado de es valor numérico del polinomio para . En el caso general:

tomará un valor para , de:

* Ejemplo:
Dado el polinomio:

cual es su valor para , sustituyendo xpor su valor, tenemos:

Con el resultado de:

Igualdad de polinomios
Dados dos polinomios:

de grado n, se dice que son iguales si los coeficientes de los monomios de igual grado son iguales, esto es, si:

* Ejemplo:

en este caso:

Polinomio opuesto
Dados dos polinomios:

de grado n, se dice que son opuestos y se representa:

si los coeficientes de los monomios de igual gradoson de distinto signo (opuestos), esto es:

* Ejemplo:

los polinomios P(x) y Q(x) son opuestos.
Adición de polinomios
La suma de polinomios es una operación, en la que partiendo de dos polinomios P(x) y Q(x), obtenemos un tercero R(x), que es la suma de los dos anteriores, R(x) tiene por coeficiente de cada monomio el de la suma de los coeficientes de los monomios de P(x) y Q(x) delmismo grado.
Dados los dos polinomios P(x) y Q(x):

el polinomio suma R(x), será:

que es lo mismo que:

sacando factor común a las potencias de x en cada monomio:

* Ejemplo:
Escribiendo los polinomios de modo que los monomios de igual grado estén alineados verticalmente, la suma de los polinomios es el polinomio resultante de sumar las coeficientes de los monomios del mismo grado, comose ve en el ejemplo.

Multiplicación de polinomios
Multiplicación de un polinomio por un escalar
Partiendo de un polinomio P(x), el producto de este polinomio por un escalar k, es un polinomio k P(x), en el cual cada uno de los coeficientes de los del polinomio se ha multiplicado por k.
Si el polinomio es:

Y lo multiplicamos por k:

Dando lugar a:

* Ejemplo:
Partiendo delpolinomio:

Lo multiplicamos por 3,

Operando con los coeficientes:

Y tenemos como resultado:

esta operación también puede expresarse del siguiente modo:

Que es la forma aritmética para hacer la operación.
Multiplicación de un polinomio por un monomio
Partiendo de un polinomio P(x), y un monomio M(x), el producto P(x)*M(x) es un polinomio que resulta de multiplicar los coeficientes delpolinomio por el del monomio, y sumar a los grados del polinomio el del monomio, veamos: Si el polinomio es:

y el monomio es:

el producto del polinomio por el monomio es:

Agrupando términos:

El producto de exponentes de la misma base, es la base elevada a la suma de los exponentes:

Que es el resultado del producto.
* Ejemplo:
Partiendo del polinomio:

y del monomio:

Lamultiplicación es:

aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación:

realizando las operaciones:

esta misma operación, se puede representar de esta forma:

donde se multiplica cada uno de los monomios del polinomio P(x) por el monomio M(x)
Multiplicación de dos polinomios
Dados dos polinomios P(x) de grado n y Q(x) de grado m, el producto de estos dos polinomios P(x) * Q(x) que seráun polinomio de grado n + m, así si:

entonces:

aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación:

agrupando términos:

operando potencias de la misma base:

El doble sumatorio anterior puede reordenarse en la siguiente forma:

* Ejemplo:
vamos a multiplicar los polinomios:

el producto de los polinomios P(x) * Q(x):

lo realizaremos paso a paso, multiplicando P(x)...