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Optimización
La definición de optimización es "mejorar el rendimiento de algo." Por lo tanto, la optimización con funciones que se emplea en Matemáticas es exactamente eso: mejorar el resultado que se busca. 
La optimización matemática es parte del cálculo diferencial. Se trata de una serie de pasos que nos llevan a resolver planteamientos en los que se busca mejorar aspectos como un costo,una dimensión, producción, etc.
Es aplicable principalmente para áreas como la Economía, pero aún cuando no estemos interesados en estudiar eso, nos es útil porque en nuestra vida diaria nos encontramos con situaciones en las cuáles elegir algo puede no resultar muy conveniente y costarnos más de lo que podría haber sido de realizar una simple operación.
EJEMPLO:Determinación del área
Una página rectangular ha de contener 24 pulgadas cuadradas de impresión. Los márgenes de la parte superior y de la parte inferior de la página van a ser de 1 ½ pulgadas, y los márgenes de la izquierda y la derecha corresponderán a 1 pulgada. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la página para que se use la menor cantidad de papel?
Solución: Sea A el área que se va a minimizarA=(x+3)(y+2)
El área impresa dentro del margen está dada por:
24= xy
Despejando de esta ecuación para y produce y=24/x. La sustitución en la ecuación primaria da lugar a
A= (x+3)(24/x+2)=30+2x+72/x
Debido a que x debe ser positiva, se está interesado solo en los valores de A para x>0. Para encontrar los puntos críticos, derivar con respecto a x.
x2=36
De tal modo, lospuntos críticos son x=±6. No es necesario considerar x=-6 porque este punto está fuera del dominio. El criterio de la primera derivada confirma que A es un mínimo cuando x=6. De tal modo, y=24/6=4 y las dimensiones de la página deben ser x+3=9 pulgadas por y+2=6 pulgadas.
Razón de cambio

Ya se ha visto que la derivada se utiliza para calcular pendientes. Pero también se usa para calculardeterminar la razón de cambio de una variable respecto a otra, lo que le confiere utilidad en una amplia variedad de situaciones. Algunos ejemplos son las tazas de crecimiento, de poblaciones, las tazas de producciones, las tazas de flujo de un líquido, la velocidad y la aceleración.
Un uso frecuente de la razón de cambio consiste en describir el movimiento de un objeto que va en línea recta. En talesproblemas, la recta del movimiento se suele representar en una posición horizontal o vertical, con un origen marcado en ella. Sobre tales rectas, el movimiento a la derecha (o hacia arriba) se considera de dirección positiva y el movimiento hacia la izquierda (o hacia abajo) de dirección negativa.

La función s que representa la posición (respecto al origen) de un objeto como función de tiempo tse denomina función de posición.
Si durante cierto lapso de tiempo ∆t el objeto cambia su posición en una cantidad ∆c=s (t+∆t)-s(t), entonces, empleando la consabida fórmula:
Razón
La velocidad media es


EJEMPLO

mediante la función posición
S= -16t2 + 100
Dónde s se mide en pies y t en segundos. Encontrar suvelocidad media para cada uno de estos intervalos.
1. [1,2] b) [1, 1.5] c) [1, 1.1]
Solución

a) En el intervalo [1,2], el objeto cae desde una altura de s(1)= -16(1)2 + 100= 84 pies hasta una altura de s(2) = -16(2)2 + 100= 36 pies. La velocidad media es

b) En el intervalo [1,1.5], el objeto cae desde una altura de 84 pies hasta una altura de 64 pies. Lavelocidad media es

c) En el intervalo [1,1.1], el objeto cae desde una altura de 84 pies hasta una altura de 80.64 pies. La velocidad media es

Aplicaciones de las derivadas

TEOREMAS
Extremos relativos
Criterio de la primera derivada
Puntos de inflexión
Criterio de la segunda derivada

Definición de Extremos Relativos
1. Si hay un intervalo abierto que contiene a c en el cual (c) es...