Optimizacion De Funciones Sin Restricciones

OPTIMIZACION DE FUNCIONES SIN RESTRICCIONES
Máximos y mínimos para funciones de dos variables.
Una función z=f(x,y) tiene un máximo relativo en el punto (x0,yo), esto es cuando x=x0, y y=y0, si para todo punto de (x,y) en el plano que este lo suficiente cercano a (x0,yo) se tiene:
f(x0,y0)≥f(x,y)
Para un mínimo relativo reemplazamos en la ecuación (1) ≥ por ≤
Decir que z=f(x,y)tiene unmáximo relativo en (x0,yo)significa , en forma geométrica, que el punto (x0,y0,z0) sobre la gráfica f es mayor que(o tan alto como)todos los puntos sobre la superficie cercanos a (x0,y0,z0).
En la figura 16.12 (a) f tiene un máximo relativo en (x1,y1). En forma similar la función f en la figura 16.12 (b) tiene un mínimo relativo cuando x = y = 0. El cual corresponde a un punto bajo en lasuperficie.

Para localizar los extremos de una función y=f(x) de una variable, examinamos aquellos valores de x en el dominio de f para los cuales f(x)=0 o f(x) no existe. Para funciones de dos (o más) variables, se sigue un procedimiento similar. Para las funciones que nos interesan los extremos no se presentan donde una derivada no exista, y tales situaciones no se consideraran.
Suponga quez=f(x,y) tiene un máximo relativo en (x0,yo), como se indica en la figura 16.13(a). Entonces la curva donde el plano y=y0 interseca la superficie, debe tener un máximo relativo cuando x=x0 . Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente a la superficie en la dirección x debe ser 0 en (x0,yo) de manera equivlente, fx(x,y)=0 en (x0,yo).

La curva en que el plano x=x0 interseca la superficie(figura 16.13(b)), debe haber un máximo relativo cuandoy=y0. Asi en la dirección y, la pendiente de la tangente a la superficie debe ser 0 en (x0,yo). De manera equivalente, fy(x,y)=0 en (x0,yo). Como puede hacerse un análisis similar para un mínimo relativo. Podemos combinar estos resultados de la manera siguiente:

Regla 1
Si z=f(x,y) tiene un máximo o un mínimo relativo en (x0,yo), y si fx y fyestán definidas para todo punto cercano a (x0,yo), es necesario que (x0,yo) sea una solución del sistema

fx(x,y)=0 fy(x,y)=0
Un punto(x0,yo) para el cual fx(x,y)= fy(x,y)=0 se llama punto crítico de f. así, de la regla 1 inferimos que, para localizar extremos relativos de una función debemos examinar sus puntos críticos.
NOTA
La regla 1 no implica que un extremo deba ser punto crítico. Aligual que en el caso de funciones de una variable, un punto crítico pueda resultar ser un máximo relativo, un mínimo relativo o ninguno de estos. Un punto crítico solo es un candidato para ser un extremo relativo.
EJEMPL0S
Determinación de puntos críticos
a) f(x,y)=2x2+y2- 2xy + 5x - 3y + 1

SOLUCION
Como fx(x,y)= 4x – 2y + 5y fy(x,y)= 2y – 2x -3 se resuelve el sistema
4x – 2y + 5=0-2x+ 2y -3=0
Esto da como resultado x=-1 y y=12 , consecuentemente (-1, 12) es el único punto critico

b) f(x ,y ,z)= 2x2 + xy + y2+100 – z (x + y – 100)
SOLUCION
fx(x,y,z)=4x+y-z=0 fy(x,y,z)=x+2y-z=0 fz(x,y,z)=-x-y+100=0
En la ecuación 2 Y 3, despejamos x
X= z-2y
Sustituimos en la ecuación 1
4(z-2y) + y – z = 0
4z – 8y + y – z = 0
3z – 7y = 0 (Ec 4)
Ahora sustituimos elvalor de x en la ecuación 3
–z + 2y – y + 100 = 0
y – z = – 100
y= – 100 + z (Ec 5)
resolvemos simultáneamente (Ec 4 y Ec 5) sustituyendo Ec 5 en Ec4
3z- 7(-100 + z)= 0
3z + 700 – 7z = 0
-4z=-700
Z=700/4 =175
Y= -100 + 175 = 75
X=175-2(75) = 25
Se tiene el punto crítico (25, 75,175).

Ejercicios propuestos
Encuentre los extremos relativos y utilice la prueba de la segunda derivadapara determinar si cada punto corresponde a un máximo relativo, a un minimo relativo, o a ninguno de ellos o si la prueba no da ninguna informacion
a) f(x,y) = x2+3y2+4x-9y + 3

Derivadas Parciales

fx(x,y)= 2x+4 = 0 (1)
fy(x,y)= 6y-9 = 0 (2)
Puntos Criticos
2x+4= 0; x=2 P(2,3/2)
6y-9= 0; y=3/2

Criterio de la 2da Derivada...