Optimizacion De Procesos

Capítulo 3. Optimización de funciones no lineales sin restricciones (caso continuo o reducible a continuo sin restricciones) Introducción La mayoría de los problemas de Ingeniería Química conduce directamente a problemas de optimización no lineal, situación que se debe a la naturaleza no lineal de una cinética, del equilibrio de fases, de una ecuación de transporte o del escalamiento del costo deun proceso. Aunque la programación lineal provee una estrategia de solución frente a problemas que pueden ser linealizados, es mucho mejor contar con una metodología más robusta, y que tome en cuenta la condición no lineal de los modelos. De acuerdo a la programación lineal, siempre los puntos extremos de una función deben aparecer activando algunas restricciones del problema, esta condición nonecesariamente ocurre en problemas no lineales, que pueden presentar puntos óptimos en el interior de la región factible, considérese el siguiente ejemplo

f(x)

f(x)

mínimo funcional

mínimo funcional

a

x

b

a

x

b

a. Caso lineal

b. Caso no lineal

ciertamente, una linealización del caso (b) es incapaz de detectar correctamente el óptimo y, en general, aquí lareducción a un problema de programación lineal no solucionará el problema. Es más, el mínimo obserado en el caso (b) puede ocurrir aún sin restricciones. La naturaleza de f(x) puede ser variada, pues no necesariamente se tratará de un modelo matemático predefinido, y perfectamente puede ocurrir que f(x) corresponde a una respuesta medible en una planta (como un control de calidad) frente a laperturbación de una o más variables manipulables x. La minimización de una función no lineal no requiere necesariamente de modelo pues, a diferencia de lo visto en el cálculo, no siempre los óptimos (cuyos representativos son máximos o mínimos) se obtienen del proceso de derivación funcional. Hay técnicas mucho más generales que veremos
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en este capítulo, pero que también se inspiran en el cálculoconvencional de puntos estacionarios. En general, hemos de referirnos a funciones continuas sin restricciones, pero las técnicas pueden extenderse a funciones discretas (por ejemplo aquellas dependientes de diámetros o áreas de intercambio de calor estandarizadas), como también a algunos casos con restricciones que pueden transformarse en problemas no restrictos. A modo de ejemplo, podríamos tenerel problema:

Min : f ( x) Sa x≥a x≤b
que representa el caso (b) en la gráfica previamente mostrada. Aunque este es un problema restricto, una simple transformación de variables lo puede transformar en un problema equivalente no restricto, por ejemplo, podemos escribir: x = a cos 2 θ + b(1 − cos 2 θ ) donde la transformación, independientemente del valor que adquiera la variable θ, quedaráacotada al intervalo [a,b] como lo pide el problema original. Esta misma transformación puede aplicarse al problema de optimización, que quedará:

Min

f (θ )

correspondiente a un problema sin restricciones, ya que θ puede variar en todo el dominio real. Este tipo de transformaciones siempre puede aplicarse cuando tenemos restricciones constantes que son muy típicas en problemas de Ingeniería,a modo de ejemplo, el rango de temperatura de operación de un catalizador, las presiones o flujos sugeridos para el diseño mecánico de un equipo, los rangos de concentración de una mezcla explosiva, etc. 3.1 Teoría de máximos y mínimos locales (puntos estacionarios) en funciones diferenciables Hasta este punto hemos revisado importantes conceptos que permiten clasificar las funciones objetivo. Yasabemos que cuando una función es multimodal, existe la posibilidad de varios puntos estacionarios en el dominio factible, y sólo un subconjunto de ellos pueden ser óptimos locales. En esta sección analizamos las condiciones que permiten clasificar un “candidato a óptimo” local. Sólo consideramos el problema de del mínimo, pues el máximo puede ser analizado por una técnica equivalente si...