Origen del cnc

Cap´ ıtulo 3

El teorema de Lebesgue
En este cap´ ıtulo estudiaremos un teorema que nos dice exactamente qu´ funciones son integrables y cu´n grande puede ser la frontera de un e a conjunto para que ´ste tenga volumen. La respuesta de Lebesgue a estas e dos preguntas fundamentales es la siguiente: una funci´n es integrable si y o s´lo si el conjunto de sus puntos de discontinuidad tienemedida cero y, como o consecuencia de esto, un conjunto tiene volumen si y s´lo si su frontera tiene o medida cero. Se trata de uno de los resultados fundamentales de la teor´ ıa de integraci´n. Con este teorema, y al enfatizar la importancia del concepto o de medida cero, H. Lebesgue abri´ el camino para el desarrollo de la teor´ o ıa de la medida y de una teor´ de integraci´n m´s flexible que la deRiemann. ıa o a La teor´ de la medida y la integral de Lebesgue son objeto de estudio en ıa cursos m´s avanzados. a Teorema 3.1 Sean A ⊂ Rn acotado y f : A −→ R una funci´n acotada. o Exti´ndase f a todo Rn poniendo f (x) = 0 para x ∈ X \ A. Entonces, f es e integrable (Riemann) si y s´lo si los puntos en los cuales la extensi´n f es o o discontinua forman un conjunto de medida cero. Antes dedemostrar el teorema de Lebesgue deduciremos de este resultado algunos corolarios importantes. Corolario 3.2 Un subconjunto acotado A de Rn tiene volumen si y s´lo si o su frontera ∂A tiene medida cero. Demostraci´n: Por la definici´n de conjunto con volumen y gracias al teoo o rema anterior, basta demostrar que el conjunto de discontinuidades de la 23

24 funci´n caracter´ o ıstica 1A ,

CAP´ITULO 3. EL TEOREMA DE LEBESGUE

1A (x) =

1 si x ∈ A 0 si x ∈ A, /

es precisamente la frontera de A, que denotamos ∂A. Ve´moslo. Por un lado, a si x ∈ ∂A, entonces cualquier entorno de x corta tanto a A como a Rn \ A. Esto implica decir que en cualquier entorno de x hay puntos y tales que 1A (y) − 1A (x) = 1, luego 1A no puede ser continua en x. Por otra parte, si x ∈ ∂A entonces existetodo un entorno de x que o bien queda dentro de A / o bien est´ contenido en Rn \ A; en cualquiera de los casos resulta que 1A es a constante en todo un entorno de x y por tanto es obviamente continua en x. Por consiguiente, ∂A = {x ∈ Rn : 1A discontinua en x}. 2 Corolario 3.3 Sea A un subconjunto acotado y con volumen de Rn . Cualquier funci´n f : A −→ R cuyos puntos de discontinuidad formen unconjunto de o medida cero es integrable. Demostraci´n: Sea g la extensi´n de f que coincide con ella sobre A y que o o vale cero fuera de A. Si denotamos por Disc(f ) el conjunto de los puntos de discontinuidad de f en A, y por Disc(g) el conjunto de discontinuidades de la extensi´n g en Rn , es claro (por la misma raz´n que en la demostraci´n o o o del corolario anterior) que Disc(g) ⊆ Disc(f ) ∪∂A, y como tanto Disc(f ) (por hip´tesis) como ∂A (por tener A volumen y o gracias al corolario anterior) tienen medida cero, su uni´n tiene medida o cero, y por tanto el subconjunto de esta uni´n Disc(g) tiene medida cero. 2 o Observaci´n 3.4 N´tese que en el teorema 3.1 la integrabilidad de f deo o pende de su extensi´n. Por ejemplo, si A es el conjunto de los racionales o del intervalo [0, 1] y f= 1, entonces f restringida a A es continua, pero su extensi´n can´nica no es continua en ning´n punto y en particular no es o o u integrable, luego f no es integrable sobre A seg´n la definici´n que se ha u o dado. Por otra parte, en el enunciado del corolario 3.3 no es necesario extender f fuera de A porque, como se ve en la prueba, el conjunto de puntos de discontinuidad de su extensi´ncan´nica no se va a incrementar significao o tivamente, a lo sumo se a˜adir´ la frontera de A, que es un subconjunto de n ıa medida cero ya que A tiene volumen. Una consecuencia inmediata del corolario anterior es lo siguiente:

25 Corolario 3.5 Sea A un subconjunto acotado y con volumen de Rn . Cualquier funci´n f : A −→ R cuyos puntos de discontinuidad formen un conjunto o finito o numerable es...