Ortonormalizacion

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Definición
Sea V un espacio vectorial y [pic] una base para V.
1. Decimos que [pic] es una base ortogonal si los vectores [pic] son ortogonales entre sí, es decir si [pic] para [pic]
2.Decimos que [pic] es una base ortonormal si es una base ortogonal y [pic] para i = 1,…,n.

Ejemplo:
Los vectores: [pic] forman una base ortogonal de [pic]
Si los vectores [pic] son ortogonales entresí, entonces son linealmente independientes.

Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt

En álgebra lineal, el proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt es un algoritmo para construir, a partirde un conjunto de vectores de un espacio prehilbertiano (usualmente, el espacio euclídeo[pic]), otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial.
Este algoritmo recibe sunombre de los matemáticos Jørgen Pedersen Gram y Erhard Schmidt.

[pic]

Se define, en primer lugar, el operador proyección mediante:

[pic]
Donde los corchetes angulares representanel producto escalar. Es evidente que:

[pic]

Es un vector ortogonal a [pic]. Entonces, dados los vectores [pic], el algoritmo de Gram–Schmidt construye los vectores ortonormales [pic] de lamanera siguiente:

[pic] [pic]

[pic] [pic]

[pic] [pic]

[pic]

[pic] [pic]

A partir de las propiedades de la proyección y del producto escalar, es sencilloprobar que la sucesión de vectores [pic] es ortogonal.

Ejemplo:

Se considera el siguiente conjunto de vectores en R2 (con el convencional producto interno)

[pic]
Ahora, aplicamosGram–Schmidt, para obtener un conjunto de vectores ortogonales:

[pic]
[pic]
Verificamos que los vectores u1 y u2 son de hecho ortogonales:

[pic]
Entonces podemos normalizar losvectores dividiendo por su norma como hemos mostrado anteriormente:

[pic]
[pic]

Bibliografía:

http://es.wikipedia.org/wiki/Proceso_de_ortogonalizaci%C3%B3n_de_Gram-Schmidt...
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