Oscar

CAPÍTULO V

CONTINUIDAD

El término continuo tiene el mismo sentido en matemática que en el lenguaje cotidiano. Decir que una función f es continua en x = a significa que su gráfica no sufre interrupción en “a”, que ni se rompe ni tiene saltos o huecos.

En la figura se muestran tres
valores de “x” para los cuales f no
es continua. En los demás puntos del
intervalo ]a , b[ lagráfica no se
interrumpe y decimos que f es continua
en ellos.

5.1 DEFINICIÓN : Una función f(x) es continua en el punto x = a si :

i) f(a) está definida , es decir , a ( Dom f

ii) Existe [pic]

iii) [pic]= f(a)

Ejemplos:

1. La función f(x) = 3x2 + 5 es continua en el punto x = 1 pues :
[pic] es decir la función cumple con las trescondiciones de la
definición.

2. La función f(x) = [ x ] no es continua en el punto x = 2, pues aunque
f(2) existe , [pic] no existe .

3. La función [pic]

no es continua en x = 3 pues aunque existe
f(3) = 5 y [pic] también existe, no
se cumple la tercera condición porque
[pic] ( f(3)

NOTAS:

De lo anterior puede deducirse que esposible combinar las 3 condiciones de la definición en una: f(x) es continua en x = a si : [pic]

Una función se dice continua en un intervalo si es continua en todos los puntos de éste, del mismo modo es continua si lo es en todo su dominio de definición.

Las funciones definidas en un intervalo cerrado [ a , b ] no cumplen con la segunda condición en sus extremos. En estoscasos se dirá que la función es continua en el intervalo cerrado [ a, b ] si lo es en el abierto ] a , b [ y [pic] y [pic] .
La función f(x) = [pic] es continua en el intervalo [ - 2 , 2 ]

Una definición alternativa de continuidad es la siguiente :

f(x) es continua en x = a si : [pic]

Otra definición de continuidad es la siguiente :

f(x)es continua en x = a si ( ( > 0 , ( ( > 0 tal que ( x – a ( < (
( f(x) – f(a) ( < ( lo que corresponde a la definición de límite con L = f(a) y eliminando la
restricción x = a

Si f no cumple con una o más de las condiciones de la definición en un punto “a”, se dirá que f es discontinua en x = a.

5.2 DISCONTINUIDAD EVITABLE E INFINITA.

DEFINICIÓN : Una funciónf se dice que presenta una discontinuidad evitable (también llamada removible) en el punto x = a , si no existiendo límite en el punto puede definirse f(a) como [pic] y cumplir con la condición de la definición; en caso contrario se dice que la discontinuidad es infinita.

Ejemplos :

1. f(x) = [pic] es discontinua en el punto x = 0,
pues f(0) no está definida yno existe
[pic]. Esta función presenta una
discontinuidad infinita pues no existe límite
en 0.

2. f(x) = [pic] es discontinua en el punto x = 3, puesto que f(3) no está definida
y [pic].
En este caso, la discontinuidad es evitable,
ya que definiendo la función como :

f(x) = [pic]

resulta ser continua.5.3 CONTINUIDAD A DERECHA Y A IZQUIERDA.

Si f está definida solamente para x( a , la definición anterior no es aplicable. En tal caso se tiene :
- f es continua a derecha en x = a , si [pic] , es decir f( a+ ) = f(a)
- f es continua a izquierda en x = a , si [pic] , es decir f( a- ) = f(a)

5.4 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS.

Los siguientes teoremasson válidos para funciones continuas, la demostración se dejará para un trabajo personal.
1. Si f(x) y g(x) son continuas sobre intervalos S1 y S2 respectivamente y S = S1 ( S2
entonces :
i) f(x) ( g(x) es continua sobre S
ii) f(x) ( g(x) es continua sobre S
iii) f(x) : g(x) es continua sobre S , excepto para los a ( S tal que g(a) = 0...