Oscilaciones Amortiguadas Mecanicas

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERIA

1.
1.1.

OSCILACIONES AMORTIGUADAS
Objetivo

El prop´osito principal de esta pr´actica es determinar el valor de la constante el´astica equivalente
K de un sistema compuesto por una masa y dos resortes que realiza oscilaciones subamortiguadas.
Para ello, el sistema se pone a oscilar y mediante la ayuda de un sensor de movimiento se registra
la posici´on de lamasa como funci´on del tiempo. A partir de estas mediciones se obtiene el periodo
del movimiento y la curva exponencial de la amplitud de las oscilaciones la cual permite determinar
la constante de amortiguamiento del sistema. Conocidos estos dos valores, junto con la masa del
sistema se determina la constante el´astica K.

1.2.

Materiales:
Sistema compuesto por masas y resortes.
Un computador consoftware que permite adquisici´on de datos.
Un sensor de movimiento con interfaz al computador.
Una balanza.

1.3.

Resumen te´
orico

Se denomina movimiento arm´onico simple aquel movimiento peri´odico y libre de rozamiento
donde la aceleraci´on a de la part´ıcula es proporcional a su desplazamiento x, es decir
d2 x
= −ω 2 x
(1)
dt2
el valor ω es una constante que depende de las propiedades delsistema y se relaciona con el per´ıodo
T del movimiento mediante la expresi´on
a=

T =

2π
ω

(2)

La soluci´on de la ecuaci´on 1 es dada por
x(t) = A sin(ωt + ϕ)

(3)

donde A y ϕ son constantes que dependen de la forma como el sistema se puso a oscilar inicialmente;
es decir, A y ϕ se determinan a partir del conocimiento de la posici´on y velocidad en el instante de
tiempo t = 0 y vienen dadospor
√
v2
2
A = x20 + 02
(4)
ω
ϕ = arctan

ωx0
v0

(5)

Cuando se considera que la fuerza de rozamiento f sobre el sistema es proporcional a la velocidad
instantanea v, es decir, f = −βv = −β dx
dt , donde β se denomina constante de amortiguamiento del
sistema, la ecuaci´on que rige el movimiento es
a=

d2 x
= −ω 2 x − 2λv
dt2

(6)

β
donde λ = 2m
. La ecuaci´on (6) admite una de tres posiblessoluciones dependiendo de la relaci´on
2
2
entre λ y ω .

1. Sobreamortiguado (λ2 > ω 2 )
Luis A Ladino G.

1

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2. Cr´ıticamente amortiguado (λ2 = ω 2 )
3. Subamortiguado (λ2 < ω 2 )
La tabla 1 muestra las soluciones para la posici´on x como funci´on del tiempo t de la ecuaci´on (6)
para los tres casos se˜
nalados arriba. Los valores de x0 y v0 corresponden a los valoresde la posici´on
y velocidad iniciales.
Sobreamortiguado
x = e−λt [c1 eΩt + c2 e−Ωt ]

Cr´ıticamente amortiguado
x = e−λt (c1 + c2 t)

√
Ω = λ2 − ω 2
1
c1 = 2Ω
(v0 + Ωx0 + λx0 )
1
c2 = − 2Ω
(v0 − Ωx0 + λx0 )
λ=

β
2m

√
yω=

c1 = x0
c2 = v0 + λx0

Subamortiguado
x = Ae−λt sin(Ωt + ϕ)
√
Ω
=
ω 2 − λ2
√
2
A = x20 + Ω12 (v0 + λx0 )
ϕ = arcsin √ 2 1 x0
2
x0 + Ω2 (v0 +λx0 )

k
m.

Tabla 1: Soluciones ala ecuaci´on de movimiento (6) para oscilaciones amortiguadas. Ver figura 1.

En cualquiera de los tres casos expuestos arriba para las oscilaciones amortiguadas, la rapidez con
la cual se disipa la energ´ıa es proporcional al cuadrado de la velocidad instant´anea de la part´ıcula,
es decir

c
a

b

Figura 1: Oscilaciones: a) Subamortiguadas, b)Cr´ıticamente amortiguadas y c) Amortiguadas

P = −βv2

(7)

N´otese que si β = 0, entonces P = 0 y la energ´ıa total del sistema se mantiene constante. Esta
situaci´on corresponde al caso del movimiento arm´onico simple sin rozamiento.
En particular, consideremos ahora el sistema que se muestra en la figura 2. Dicho sistema consta
de un cuerpo de masa m que reposa sobre una superficie horizontal y se encuentra conectado a dos
resortes de constantesel´asticas k1 y k2 . Asumiremos que la fuerza de rozamiento entre el cuerpo y
la superficie es de la forma f = kv, donde v es la velocidad instant´anea del cuerpo. Al aplicar la
segunda ley de Newton al cuerpo resulta en
a=

Luis A Ladino G.

k1
k2
β
K
β
d2 x
=− x− x− v =− x− v
dt2
m
m
m
m
m

2

(8)

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x=0
m

F1

F2
m

f

x

Figura 2: Fuerzas horizontales que act´...