Oscilador Armónico Amortiguado

Oscilador armónico amortiguado

Oscilador armónico con amortiguador. La fuerza viscosa es proporcional a la velocidad.
Añadiendo pérdidas de energía, se consigue modelar una situación más próxima a la realidad. Así, nótese que la oscilación descrita en el apartado anterior se prolongaría indefinidamente en el tiempo (la sinusoide que describe la posición no converge a cero en ningún momento).Una situación más verosímil se corresponde con la presencia de una fuerza adicional que frena el movimiento. Esa fuerza puede ser constante (pero siempre con signo tal que frene el movimiento). Es el caso de rozamientos secos: la fuerza no depende ni de la velocidad ni de la posición. Otra situación que se produce en la realidad es que la fuerza sea proporcional a la velocidad elevada auna potencia, entera o no. Así sucede cuando la fuerza que frena proviene de la viscosidad o de las pérdidas aerodinámicas. Se tratará únicamente el caso más simple, es decir, cuando la fuerza sea proporcional a la velocidad. En este caso la fuerza será:

Donde  es un coeficiente que mide el amortiguamiento debido a la viscosidad. Si  es pequeño, el sistema está poco amortiguado. Nótese el signo negativoque indica, como antes, que si la velocidad es positiva, la fuerza tiene la dirección opuesta a la velocidad. Con este término complementario la ecuación diferencial del sistema es:

Se trata de una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden1 (contiene derivadas segundas) y homogénea(no hay término independiente de y). Tiene tres tipos de soluciones según el valor de :
* Si  elsistema está sobreamortiguado (amortiguamiento fuerte o supercrítico)
* Si  el sistema tiene amortiguamiento crítico.
* Si  el sistema oscila con amplitud decreciente (amortiguamiento débil o subcrítico)

Oscilador sobreamortiguado

Posición en función del tiempo de un oscilador armónico amortiguado.
Curva azul: amortiguamiento crítico. |
Curva roja: amortiguamiento doble que elcrítico. |
Curva verde: amortiguamiento igual a 90% del amortiguamiento crítico. |
En este caso el sistema no es realmente un oscilador, ya que no oscila. La solución es de la forma:

donde los coeficientes de las exponenciales son menores que cero y reales (por lo que no hay oscilación):

y

 y  dependen de las condiciones iniciales (es decir, de la situación del sistema para ). La posiciónno es oscilante y tiende hacia la posición de equilibrio de manera asintótica. Las dos exponenciales decrecientes de las soluciones tienen constantes de tiempo diferentes. Una es pequeña  y corresponde a la rápida cancelación del efecto de la velocidad inicial. La segunda  es más grande y describe la lenta tendencia hacia la posición de equilibrio.

Oscilador con amortiguamiento crítico
Estecaso es el límite entre un sistema oscilante y uno no oscilante. Ocurre cuando

La solución única es:

como antes,  y  son constantes que dependen de las condiciones iniciales.
El amortiguamiento crítico corresponde a la tendencia más rápida hacia la situación de equilibrio cuando no sobrepasa esa posición. Si se disminuye un poco el amortiguamiento el sistema se acerca más rápidamente a laposición de equilibrio, pero sobrepasando la posición oscila en torno a ese punto (tomando valores positivos y negativos).

Oscilador con amortiguamiento débil

Oscilaciones amortiguadas. La amplitud de la sinusoide está controlada por la exponencial.
En este caso, que es más interesante, tenemos un oscilador que oscila alrededor de la posición de equilibrio con amplitud decreciente. Sucedecuando:

La solución es:

como antes,  y  son constantes que dependen de las condiciones iniciales. La pulsación es:

La pulsación del sistema amortiguado es un poco menor que la pulsación del sistema no amortiguado  porque la fuerza que lo amortigua, frena la masa y la retarda.
La oscilación del sistema está descrita por una sinusoide de frecuencia  cuya amplitud está multiplicada por una...