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Soluciones a “Ejercicios y problemas”
PÁGINA 178

Pág. 1

Distancias y circunferencia
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Calcula la distancia entre P y Q:
a) P (3, 5), Q (3, –7)

b) P (–8, 3), Q (–6, 1)

c) P (0, –3), Q (–5, 1)

d) P (–3, 0), Q (15, 0)

Ä8

a) dist (P, Q) = |PQ| = √(3 – 3) 2 + (–7 – 5) 2 = √122 = 12
b) dist (P, Q) = √(–6 + 8) 2 + (1 – 3) 2 = √4 + 4 = √8 = 2√2
c) dist (P, Q) = √(–5) 2 + (1 + 3) 2 = √25 + 16= √41
d) dist (P, Q) = √(15 + 3) 2 = √182 = 18
18

a) Halla el punto medio del segmento de extremos A(–2, 0), B(6, 4).
b) Comprueba que la distancia del punto medio a cada uno de los extremos es la
misma.

(

)

a) Punto medio M = –2 + 6 , 0 + 4 = (2, 2)
2
2
Ä8

b) dist (A, M) = |AM | = √(2 + 2) 2 + 2 2 = √16 + 4 = √20
Ä8

dist (B, M) = | BM | = √(2 – 6) 2 + (2 – 4) 2 = √16 + 4 = √20
19

Compruebaque el triángulo de vértices A (–1, 0), B(3, 2), C (7, 4) es isósceles. ¿Cuáles son los lados iguales?
Un triángulo es isósceles cuando dos de sus lados miden lo mismo.
Ä8

Ä8

Ä8

Calculamos, pues, | AB |, | AC | y | BC |:
°
§
Ä8
§
2
2
| AC | = √(7 + 1) + 4 = √64 + 16 = √80
¢
§
Ä8
| BC | = √(7 – 3) 2 + (4 – 2) 2 = √16 + 4 = √20 §£
Ä8

| AB | = √(3 + 1) 2 + 2 2 = √16 + 4 = √20

Ä8

Ä8

| AB | = |BC |

El triángulo de vértices A, B y C es isósceles.
20

Comprueba, mediante el teorema de Pitágoras, que el triángulo de vértices
A(–2, –1), B(3, 1), C (1, 6) es rectángulo.
A (–2, –1), B(3, 1), C(1, 6)
Ä8
Ä8
Ä8
° | AB
|2 + | BC |2 + | AC |2 por Pitágoras:
§
Ä8
§
2
2
2
| AC | = √32 + 72 = √9 + 49 = √58 ¢ (√29 ) + (√29 ) = (√58 )
§
Ä8
| BC | = √(–2) 2 + 52 = √4 + 25 = √29 §£ 29 + 29 = 58
Ä8

|AB | = √52 + 2 2 = √25 + 4 = √29

El triángulo de vértices A, B y C es rectángulo.
Unidad 8. Geometría analítica

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Soluciones a “Ejercicios y problemas”
21

Escribe la ecuación de la circunferencia de centro C y radio r :
a) C (4, –3), r = 3
b) C (0, 5), r = 6
c) C (6, 0), r = 2
d) C (0, 0), r = 5
a) C (4, –3), r = 3
(x – 4) 2 + (y + 3) 2 = 9 → x 2 – 8x + 16 + y 2 + 6y + 9 = 9 → x 2 + y 2 – 8x +6y + 16 = 0
b) C (0, 5), r = 6
(x – 0) 2 + (y – 5) 2 = 36 → x 2 + y 2 – 10y + 25 = 36 → x 2 + y 2 – 10y – 11 = 0
c) C(6, 0), r = 2
(x – 6) 2 + y 2 = 4 → x 2 – 12x + 36 + y 2 = 4 → x 2 + y 2 – 12x + 32 = 0
d) C(0, 0), r = 5
x 2 + y 2 = 25 → x 2 + y 2 – 25 = 0

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Di cuáles son el centro y el radio de las circunferencias siguientes:
b) (x + 1)2 + y 2 = 81
c) x 2 + y 2 = 10
a) (x – 2)2 + (y + 3)2 =16
a) (x – 2) 2 + (y + 3) 2 = 16 → C (2, –3), r = 4
b) (x + 1) 2 + y 2 = 81 → C (–1, 0), r = 9
c) x 2 + y 2 = 10 → C (0, 0), r = √10

■ Aplica lo aprendido
23

8

8

8

8

8

2u + v – w = 2(2, 1) + (3, –1) – (2, 3) =

P

= (4, 2) + (3, –1) + (–2, –3) = (5, –2)
PQ = (5, –2)
Q = (5, –2) + (1, 3) = (6, 1)

Q

24

8

A partir del punto P (1, 3), trazamos el vector 2u + v – w y llegamos al punto
8
88
Q. Averigua las coordenadas de Q si conocemos u(2, 1), v(3, –1) y w(2, 3).

Ä8

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8

8

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8

8

8

8

a) Representa los vectores u = 2 x + y + z y v = –x + 4y – 2 z siendo x(2, 2),
8
8
y(3, 0) y z(1, –2).
8
8
b) Halla las coordenadas de u y v. ¿Son iguales?
a)

8

8

y

v

8

z

8

2x

8

–x

8

u

4y8

8
8
8
b) 8
u = 2 x + y + z = 2(2, 2) + (3, 0) + (1, –2) = (8, 2)

° 8 8
¢ u=v
v = – x + 4y – 2 z = –(2, 2) + 4(3, 0) – 2(1, –2) = (8, 2) £

8

25

(

8

8

8

(

)

Averigua el valor de k para que se cumpla: 6 , –2 = k(–3, 5)
5
6 , –2 = k(–3, 5) 8 6 = –3k°
§ k=–2
5
5
¢
5
§
–2 = 5k£

)

Unidad 8. Geometría analítica

–2z8

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Soluciones a “Ejercicios y problemas”
26

a) Determina las coordenadas de los puntos M,
N y P que son los puntos medios de los lados del
triángulo ABC.8

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B(–1, 3)

8

b) Halla las coordenadas de los vectores MN, MP y
8
8
8
8
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PN y comprueba que MN = 1 AC; MP = 1 BC
2
2
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8
y PN = 1 AB .
2

M
A(–4, –2)

N
P

C(3, –3)

a) M es el punto medio del segmento de extremos A(–4, –2) y B (–1, 3):

(

) (

)

M = – 4 – 1 , –2 + 3 = – 5 , 1
2
2
2 2
N es el punto medio del segmento de extremos B(–1, 3) y C (3, –3):

(

)

N = –1 + 3 , 3 – 3 = (1,...