papa

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FUNCIONES Y FÓRMULAS
TRIGONOMÉTRICAS

Página 126
PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
1. Aunque el método para resolver las siguientes preguntas se sistematiza en la
página siguiente, puedes resolverlas ahora:
a) ¿Cuántos radianes corresponden a los 360° de una circunferencia?
b) ¿Cuántos grados mide 1 radián?
c) ¿Cuántos grados mide un ángulo de

π
radianes?
2

d) ¿Cuántosradianes equivalen a 270º?
a) 2π
c)

360° π
·
= 90°
2π
2

b)

360°
= 57° 17' 44,8"
2π

d)

270°
π
· 2π = 3
360°
2

Página 128
2. Pasa a radianes los siguientes ángulos:
a) 30°

b) 72°

c) 90°

d) 127°

e) 200°

f ) 300°

Expresa el resultado en función de π y luego en forma decimal. Por ejemplo:
30° = 30 ·

π
π
rad = rad ≈ 0,52 rad
180
6

a)

2π
π
·30° =
rad ≈ 0,52 rad
360°
6

b)

2π
2π
· 72° =
rad ≈ 1,26 rad
360°
5

c)

2π
π
· 90° =
rad ≈ 1,57 rad
360°
2

d)

2π
· 127° ≈ 2,22 rad
360°

e)

2π
10π
· 200° =
rad ≈ 3,49 rad
360°
9

f)

2π
5π
· 300° =
rad ≈ 5,24 rad
360°
3

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

1

3. Pasa a grados los siguientes ángulos:
a) 2 rad

b) 0,83 rad

c)a)

360°
· 2 = 114° 35' 29,6"
2π

b)

360°
· 0,83 = 47° 33' 19,8"
2π

c)

360° π
·
= 36°
2π
5

d)

360° 5π
·
= 150°
2π
6

e)

360°
· 3,5 = 200° 32' 6,8"
2π

π
rad
5

d)

5π
rad
6

e) 3,5 rad

4. Completa la siguiente tabla añadiendo las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) de cada uno de los ángulos. Te será útil para el próximoapartado:
GRADOS

0

30

RADIANES

60 90
π
4

135 150
2π
3

210 225
π

270
4π
3

330 360
5π 7π
3 4

La tabla completa está en el siguiente apartado (página siguiente) del libro de texto.
Tan solo falta la última columna, que es igual que la primera.

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1. Demuestra la fórmula II.2 a partir de la fórmula:
cos (α + β) = cos α cos β – sen α sen β
cos (α – β) = cos(α + (– β)) = cos α cos (–β) – sen α sen (–β) =
= cos α cos β – sen α (–sen β) =
= cos α cos β + sen α sen β
2. Demuestra la fórmula II.3 a partir de la fórmula:
tg (α – β) =

tg α + tg β
1 – tg α tg β

tg (α – β) = tg (α + (– β)) =
=

(*) Como

tg α + tg (–β) (*) tg α + (–tg β)
=
=
1 – tg α tg (–β)
1 – tg α (–tg β)

tg α – tg β
1 + tg α tg β

sen (–α) = –sen α 
 → tg (–α) = – tg α
cos (– α) = cos α 

Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas

2

3. Demuestra la fórmula II.3 a partir de las fórmulas:
sen (α – β) = sen α cos β – cos α – sen β
cos (α – β) = cos α cos β + sen α – sen β
tg (α – β) =

sen (α – β)
sen α cos β – cos α sen β (*)
=
=
cos (α – β)
cos α cos β + sen α sen β

sen α cos β
cos α sen β
—————— – ——————
cos α cos βcos α cos β
tg α – tg β
=
=
1 + tg α tg β
cos α cos β
sen α sen β
—————— + ——————
cos α cos β
cos α cos β
(*) Dividimos numerador y denominador por cos α cos β.
4. Si sen 12° = 0,2 y sen 37° = 0,6, halla cos 12°, tg 12°, cos 37° y tg 37°.
Calcula, después, a partir de ellas, las razones trigonométricas de 49° y de 25°,
utilizando las fórmulas (I) y (II).
• sen 12° = 0,2
cos 12° = √ 1– sen 2 12° = √ 1 – 0,04 = 0,98
tg 12° =

0,2
= 0,2
0,98

• sen 37° = 0,6
cos 37° = √ 1 – sen 2 37° = √ 1 – 0,36 = 0,8
tg 37° =

0,6
= 0,75
0,8

• 49° = 12° + 37°, luego:
sen 49° = sen (12° + 37°) = sen 12° cos 37° + cos 12° sen 37° =
= 0,2 · 0,8 + 0,98 · 0,6 = 0,748
cos 49° = cos (12° + 37°) = cos 12° cos 37° – sen 12° sen 37° =
= 0,98 · 0,8 – 0,2 · 0,6 = 0,664
tg 49° = tg(12° + 37°) =

tg 12° + tg 37°
0,2 + 0,75
=
= 1,12
1 – tg 12° tg 37°
1 – 0,2 · 0,75

49°
.
(Podría calcularse tg 49° = sen
cos 49° )
• 25° = 37° – 12°, luego:
sen 25° = sen (37° – 12°) = sen 37° cos 12° – cos 37° sen 12° =
= 0,6 · 0,98 – 0,8 · 0,2 = 0,428
cos 25° = cos (37° – 12°) = cos 37° cos 12° + sen 37° sen 12° =
= 0,8 · 0,98 + 0,6 · 0,2 = 0,904
tg 25° = tg (37° – 12°) =...