Paralelismo, intersección y coincidencia

PARALELISMO
En geometría, el paralelismo es una relación que se establece entre cualquier variedad lineal de dimensión mayor o igual que 1 (rectas, planos, hiperplanos y demás). En el planocartesiano dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente o son perpendiculares a uno de los ejes, por ejemplo la función constante.
Clásicamente, dos rectas paralelas se definen como las que, "pormucho que las prolongues", nunca se cortan. Dos rectas paralelas tiene ángulos de inclinación iguales, y por lo tanto, su pendiente es igual, y recíprocamente1. Las condiciones para que dos rectas seanparalelas o perpendiculares pueden establecerse como sigue:
A1x + B1y + C1 = 0 y A2x + B2y + C2 = 0
Son paralelas si A1B2 – A2B1 = 0
Y perpendiculares si A1A2 + B1B2 = 0Ejemplo 1
En el caso de la rectas
2x + 6y – 4 = 0 4x + 12y – 8 = 0
A1 = 2 B1 = 6 C1 = -4 A2 = 4 B2 = 12 C2 = -8

A1B2 – A2B1 =(2)(12) – (4)(6) = 0 son paralelas

Ejemplo 2
En el caso de las rectas
2x + 6y – 4 = 0 -3x + y -4 = 0
A1 = 2 B1 = 6 C1 = -4 A2 = -3B2 = 1 C2 = -4

A1B2 – A2B1 = (2)(1) – (-3)(6) ≠ 0 no son paralelas

COINCIDENCIA
Dos rectas son coincidentes si todos sus puntos son comunes. Dos rectas son coincidentes si loscoeficientes de x, de y, y del término independiente son proporcionales. Por lo tanto se deduce que:

Dos rectas son coincidentes cuando sus pendientes son iguales y sus coeficientes de posición iguales, osea
L1: y = m1x + n1
L2: y = m2x + n2,
Entonces L1 coincidente con L2 sí y sólo si m1 = m2 y n1 = n2
Ejemplo 1

Ejemplo 2


INTERSECCIÓN
Punto en el cual una línea o una curva cruza uneje dado. Parte de un segmento de línea obtenido de una transversal cortada por un par de líneas. La condición de que dos rectas se corten, corresponde a la condición algebraica de que sus ecuaciones...