paRCIAL de matematica

1. )

x + 2y -z = 8
2x - 3y + z =-1
3x - y + kz = 5

metodo del pivot:

x    y    x
1   2    -1    8
2   -3     1   -1
3  -1    k   
_________________        -7     3   -17
      -7 (k+3)   -19   
______________
-7(k+3)+21 19.7 – 7.17

-7k-21+21 14
-7k 14-7(k+3)+21 =0  Sist.Incop.
≠0  SCD
No existe k  SCI

2) (aritmetica modular)
Hallar el menor resto no negativo

23:36-129+25.49 (mod 13)10:10-(-1)+(-1).(-3) (le resto el modulo para achicarlo lo más posible)
1 + 1 +3 =5  menor resto no negativo = 5

B) Calcular x ≡ 47   (a la 895243) (modulo 13)

Aplico Fermat 47(ala 12) ≡1 (13) ahora divido la potencia por la nueva potencia (12)

895243 = 74603x12+7 (ecuación de la división)

Entonces:

[47^12] ^74603 . 47^7 ^=elevado

Como47 elevado a la 12 es congruente con 1, 1 a la 74603 sigue siendo 1
Queda
1 x 47^7 le voy restando y sumando el modulo para reducir:
47^7≡[8^2]^2. 8^3 pongo las potencias como me combiene eneste caso hago el 7= 2x2,+3)
-1^2.8^3=
-1.8=-8≡5




3) Calcular los ultimo dos dígitos de 2007^2007
Aplico Euler
2007^2007 (modulo 100 para saber ultimos 2 digitos)2007^φ(100) ≡1

φ (100) = φ5^2 . φ 2^2
= (5^2-5^1).(2^2-2^1)
= 25-5 . 4-2
=20.2 =40

2007^40 ≡1 (100) 2007 dividido 40 = 50*40+7

Entonces:

[2007^40]^50 .2007^7
1 . 2007^7 (le resto el modulo)
7^7 = [7^3]^2.7 (vuelvo a repartir la potencia como en el anterior)
43 ^2.7=
49 . 7=43 últimos 2 dígitos

4) Factorear √809009 ≈ 899

Probando el primero que me da un cuadrado perfecto es 903^2 cuadno le resto 809009
903^2 – 809009= 6400  es cuadrado perfecto = 80^2...