PAUTA CONTROL N1

PAUTA CONTROL N°1 , Prof. Marcelo Ruiz.

Considere una barra homogénea y rígida de masa m y largo 𝐿 . Tal barra se encuentra unida a un
resorte de constante elástica 𝑘 que no está deformado cuando labarra está en la posición horizontal
, como muestra la figura.
a- Encuentre la ecuación de movimiento cuando la barra pequeñas oscilaciones
b- Identifique la frecuencia angular de la ecuación demovimiento.

L/2

L/4

L/4

m
k

Solución:
AMétodo 1 :
La figura no muestra la posición de equilibrio ya que el resorte está sin estirar, por tanto se analiza
la posición mediante estática.

L/4

𝐹𝑟
𝜃𝐸P
L/2

∑ 𝜏0 =

𝐿
𝐿
𝑃 cos(𝜃𝐸 ) − 𝐹𝑟 cos(𝜃𝐸 ) = 0
4
4

𝐿
𝐿 2
𝑃 cos(𝜃𝐸 ) − ( ) 𝑘 sen(𝜃𝐸 ) cos(𝜃𝐸 ) = 0
4
4
Luego se asume 𝜃𝐸 ≪ por tanto sen(𝜃𝐸 ) ≈ 𝜃𝐸 𝑦

cos(𝜃𝐸 ) ≈ 1

𝐿
𝐿 2
𝑃 − ( ) 𝑘𝜃𝐸 = 0
4
4

𝜃𝐸 =4𝑃
( 𝑎𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚)
𝐿𝐾

(1)

Ahora se debe aplicar una perturbación al sistema para generar oscilaciones en “”torno al punto de
equilibrio””, por tanto la referencia será posicionada en elángulo 𝜃𝐸 .

L/4

𝐹𝑟

𝑦´
𝜃𝐸
𝜃

𝑥´

P
L/2

Se realiza sumatoria de torque respecto al pivote para determinar la ec. de movimiento del sistema.

∑ 𝜏0 =

𝑃𝐿
𝐿
cos(𝜃𝐸 + 𝜃) − 𝐹𝑟 cos(𝜃𝐸 + 𝜃) = 𝐼𝜃̈
4
4
2

𝑃𝐿𝐿
cos(𝜃𝐸 + 𝜃) − ( ) 𝐾 cos(𝜃𝐸 + 𝜃) sen(𝜃𝐸 + 𝜃) = 𝐼𝜃̈
4
4
Se sabe que (𝜃𝐸 + 𝜃) ≪

→

𝑐𝑜𝑠(𝜃𝐸 + 𝜃) ≈ 1

;

𝑠𝑒𝑛(𝜃𝐸 + 𝜃) ≈ (𝜃𝐸 + 𝜃)

2

𝑃𝐿
𝐿
− ( ) 𝐾 (𝜃𝐸 + 𝜃) = 𝐼𝜃̈
4
4

(2)

Reemplazando (1) en (2):
𝑃𝐿
𝐿 2
4𝑃− ( ) 𝐾 ( + 𝜃) = 𝐼𝜃̈
4
4
𝐿𝐾
𝐼0 𝜃̈ +

𝐾𝐿2
=0
16

(3)

Se calcula la inercia usando el teorema de los ejes paralelos
𝐼0 = 𝐼𝑐𝑚 + 𝑚𝑑2
𝐼0 =

𝑚𝐿2
𝐿 2
7𝑚𝐿2
+𝑚( ) =
12
4
48

(4)

Reemplazando (4) en (3) ysimplificando:
𝜃̈ +

3𝑘
𝜃=0
7𝑚

Siendo esta la ecuación del sistema con respecto al eje ángulo de equilibrio (𝜃𝐸 )

Método 2
Se considera una perturbación del sistema soltándo desde el reposo en laposición horizontal
𝜃(0) = 0 . De esa forma se obtiene un término constante en la ecuación diferencial , que origina
como solución particular un factor constante , cuyo valor es el ángulo de...