pauta solemne de matematicas

Universidad Andr´s Bello
e
Departamento de Matem´ticas
a

ELEM.DE ALG. Y CALCULO ELEMENTAL - FMM 032
1er Semestre, 2012
PAUTA SEGUNDA PRUEBA SOLEMNE
Viernes 25 de Mayo de 2012
1. Considerelos conjuntos:
S1 = {x ∈ R/x2 − 2x − 8 ≤ 0}
S2 = {x ∈ R/|x − c| ≤ d}
Encuentre el valor de las constantes c y d tal que S1 = S2 .
Sol:
Para S1 :
(x − 4)(x + 2) ≤ 0
Para que la par´bola seanegativa x ∈ [−2, 4] = S1 . Por otra parte, S2 :
a
|x − c| ≤ d ⇔ −d ≤ x − c ≤ d ⇔ c − d ≤ x ≤ c + d
Para que S1 = S2 ⇒ c − d = −2 y c + d = 4. Resolviendo el sistema se llega a que c = 1; d = 3.
2. Unafurgoneta ( vac´ ) pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la furgoneta vac´ y el peso de
ıa
ıa
la carga que lleve debe ser al menos 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿cu´ntopuede
a
pesar, como m´ximo, cada uno de los cajones para poder llevarlos en esa furgoneta?
a
Ind:Debe resolver el problema mediante una inecuaci´n.
o
Sol:
Sea x el peso de un caj´n. Entonces elproblema a resolver es:
o
875 − 4x ≥ 415 ⇔ 4x ≤ 460 ⇔ x ≤ 115
Luego, el peso m´ximo por caja es de 115 kg.
a
3. Considere la funci´n f (x) = 3x − 2a. Calcular el(los) valor(es) de la constante ade modo que:
o
f (a + 2) = 3 · f −1 (a2 )
Sol:
Si y = 3x − 2a ⇒ x =
Finalmente:

x + 2a
y + 2a
→ f −1 (x) =
. Adem´s f (a + 2) = 3(a + 2) − 2a = a + 6.
a
3
3

a+6=3·

a2 + 2a
⇔ a2 +a − 6 = 0 ⇔ (a + 3)(a − 2) = 0
3
→ a = −3 ∨ a = 2

4. Supongamos que un jugador de f´tbol patea un tiro libre de modo tal que la trayectoria de la pelota,
u
mientras se encuentra en el aire, esla par´bola correspondiente a la funci´n y = −0.05x2 + 0.7x, donde
a
o
y es la altura en metros de la pelota cuando ´sta se encuentra a x metros de distancia horizontal desde
e
el punto que fuelanzada.
(a) Calcule la distancia horizontal que determina la altura m´xima de la pelota.
a
Sol:
La distancia horizontal que determina la altura m´xima es:
a
xmax = −

b
0.7
=−
= 7 metros...