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ALGEBRA LINEAL

TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES

( Matriz:
Tabla de números ordenados en n filas y n columnas.
A = [pic] ( A = a 33.

- Orden de una matriz: En este caso nos encontramos ante una matriz cuadrada de orden 3, pero si no fuese cuadrada, por ejemplo sería de orden 2 · 3.

- Algunas matrices interesantes:

- Matriz fila: ( 1 2 0 -1)- Matriz columna: [pic]

- Matriz nula: [pic]
Superior ( [pic]
- Matriz triangular:
Inferior ( [pic]

- Matriz cuadrada: [pic]

- Matriz unidad: ( I ) I n = [pic] ( [pic]
( Operaciones con matrices:

- Suma: Dada dos matrices del mismo orden ( C = A + B ( Cij =aij + bij .
• Propiedades:
o Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C)
o Conmutativa: A + B = B + A
o Elemento neutro: A + 0 = A
o Elemento opuesto: A + (-A) = 0

[pic] + [pic] = [pic]

- Resta: Se calcula de la misma forma que la suma y tiene las mismas propiedades.

- Producto:
* Producto por unescalar: ( · A = B
5 · [pic] = [pic]

* Producto de matrices: Regla básica ( Columnas de A = Filas de B.
Se multiplican cada uno de los coeficientes de las filas de A por cada uno de los coeficientes de las columnas de B, de forma que si se multiplican la 1º fila de A y la 2ª de B, el número que sacaremos será el c12. Asi, sacaremos cada uno de loscoeficientes de las matriz resultante C.

[pic] · [pic] = [pic]
- Propiedades:
* Asociativa: (AB) · C = A · (BC) No tiene porque
* Distributiva: A · (B + C) = AB + AC ser igual
* No conmutativa: AB ( BA
* No cancelativa: AB = AC ( B ( C
* Neutro: A · I = A ;I · A = A.

( Matriz inversa: (A-1)
Tenemos la matriz cuadrada A.
Tenemos la matriz cuadrada B.
Si A · B = B · A = I ( B = A-1

- Matriz singular: Es la matriz que no tiene inversa.
Observaciones:
A · M = C ( M = A-1 · C
(A · M)-1 = B-1 · A-1
( Matriz traspuesta: A ( ATPropiedades:
[pic] ( [pic] A = (AT)T
(A + B)T = AT + BT

(A · B)T = BT · AT

( Matriz singular: No tiene inversa, con lo cual, su determinante es igual a 0.
( Matriz simétrica: Una matriz es simétrica si A = AT.
( Matriz antisimétrica: Una matriz es antisimétrica si A = - AT.

( TRANSFORMACIONES ELEMENTALES:- Por filas:
• Tipo 1: Dada una matriz, intercambiamos las filas i, j.
- Matriz elemental: (Fij): Matriz que resulta de aplicar la transformación elemental expuesta a la matriz unidad.
Ejemplo de matriz elemental:
I = [pic] ( F1,2 = [pic]

Si multiplico F1,2 · A = A1,2 ; de aquí, se puede observar claramente que si multiplicouna matriz por la matriz elemental, esta intercambia sus filas.
• Tipo 2: Consiste en sumar a una fila i, una fila j multiplicada por un escalar (número), ( ( 0.
- Matriz elemental: (Fij(()): Matriz que resulta de aplicar la transformación elemental expuesta a la matriz unidad.
Si multiplico Fi,j (() · A = Aij (().
• Tipo 3: La fila i es multiplicada por un escalar (( 0.
- Matriz elemental: (Fi(()): matriz que resulta de aplicar la transformación elemental expuesta a la matriz unidad.
Si multiplico Fi (() · A = Ai (()

- Por columnas:
• Tipo 1: Lo mismo que en las filas, pero aplicadas a las columnas.
- Matriz elemental: (Cij): Lo mismo pero aplicado a las columnas.
• Tipo 2: Lo mismo pero aplicado a las...
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