Pendulo F sico

Péndulo físico
1. Objetivos.

1.1 Objetivos Generales:
1.1.1 Estudiar el comportamiento del periodo de un péndulo físico.

1.2 Objetivos Específicos:
1.2.1 Encontrar la ecuación empírica que relaciona el período del péndulo con la distancia entre el eje de rotación y el centro de masa.
1.2.2 Determinar el radio de giro con respecto al centro de masa.
1.2.3 Calcular el momento de inercia conrespecto al centro de masa.
1.2.4 Utilizar la técnica de propagación de errores para calcular la incertidumbre del momento de inercia.











2. Marco teórico
“Un péndulo físico es cualquier péndulo real que usa un cuerpo de tamaño finito, en contraste con el modelo idealizado de péndulo simple en el que toda la masa se concentra en un punto. Si las oscilaciones son pequeñas, el análisisdel movimiento de un péndulo real es tan sencillo como el de uno simple” (Sears, 2009). En otras palabras se denomina un péndulo físico o compuesto, a cualquier cuerpo rígido capaz de pivotar en torno a un eje horizontal fijo que no pasa por su centro de masa, así el sistema oscilará cuando se desplaza de su posición de equilibrio. Se puede representar mediante la siguiente imagen:

Note que en laposición de equilibrio, el centro de masa; que es una posición media ponderada por la masa de las partículas, está directamente abajo del pivote, separado por una distancia b.
La posición del centro de masa para una serie de masas puntuales se puede calcular mediante la siguiente ecuación:

Donde el radio debe ser considerado desde un punto fijo. Sin embargo para sistemas de masas continuos laexpresión anterior se escribe en la forma:

Y en distribuciones de masas homogéneas, la densidad será constante, entonces se puede sacar fuera de la integral mediante la siguiente expresión , entonces:

Siendo V el volumen total. Para el experimento se asume que la regla tiene una densidad lineal constante.
El momento de inercia corresponde a la distribución de masa de un sistema de partículasen rotación, respecto a un eje de giro, sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro. En el caso del péndulo físico, el momento de inercia del cuerpo alrededor del eje de rotación es I y la masa total es m. Cuando el cuerpo se desplaza como se muestra, el peso mg causa una torca de restitución dado por:

El signo negativo indica que la torca de restitución es ensentido horario, si el desplazamiento es en sentido anti horario, y viceversa. (Sears, 2009)
La ecuación de movimiento de este péndulo se obtiene aplicando la segunda ley de Newton de rotación para movimientos planos de un cuerpo rígido:, por lo tanto:
=
(∆)
En (∆) “I” corresponde al momento de inercia del cuerpo rígido, “d” corresponde a la distancia que hay del centro de masa al pivote y “a”es la aceleración de la gravedad.
Se puede representar para pequeñas oscilaciones,, y consecuentemente,
(1)
correspondería a la ecuación diferencial del oscilador armónico. Es decir el péndulo físico para giros con pequeños ángulos, oscila armónicamente con una frecuencia angular dada por:Y el periodo del péndulo físico sería:
(2)
Para calcular el momento de inercia en una varilla delgada, se puede representar por dos expresiones:
, en el centro.
, en los extremos.
Aplicando el teorema de los ejes paralelos se tiene que:

Donde K= , es el radio de giro del péndulo, el cual es el valor medio cuadrático de distancia de lospuntos de la sección o la distribución de masa respecto a un eje que pasa por el centro de masa, entonces se puede evaluar la inercia en la ecuación del periodo, donde se puede calcular este en función del radio de giro con respecto al centro de masa y las distancias entre el centro de rotación y el centro de masa, entonces se tiene que:
(3)...