Pendulo

Estudio num´ rico de un p´ ndulo simple

Germ´ n Guillermo Theler*

Instituto Balseiro

(Dated: 8 de noviembre de 2004)

En el presente trabajo resolveremos num´ ricamente las ecuaciones de movimiento de un p´ ndulo simple, y

las compararemos con datos experimentales. As´ mismo, modelaremos diferentes mecanismos de disipaci´ n de

energ´ a y construiremos diagramas de fase paraestas diferentes condiciones de rozamiento.

´

I.
INTRODUCCI ON
__ £ @

El p´ ndulo simple es el sistema oscilante por excelencia es-

tudiado en la mayor´ a de los cursos de f´ sica elemental (y no

reemplazando en la ecuaci´ n (1), tenemos

tanto), principalmente por la facilidad con la que se resuelven

sus ecuaciones de movimiento. En realidad, estas benignas
f´ rmulas alas que estamos acostumbrados —que provienen o
de desarrollar el potencial a segundo orden— dejan de ser tan
atractivas si se las intenta resolver sin aproximaci´ n alguna. o
En el presente trabajo estudiaremos num´ ricamente (utili- e
zando el m´ todo de Runge–Kutta de cuarto orden) el compor- e
tamiento te´ rico de un p´ ndulo simple —al que llamaremoso e
p´ ndulo num´ rico— seg´ nsus ecuaciones (sin aproximar) de e e u
movimiento, y compararemos estos resultados con datos ex-
perimentales de lo que denominaremos, en un ataque de ge-
nialidad,p´ ndulo real. e
Comenzaremos resolviendo nuestro p´ ndulo num´ rico pa- e e
ra el caso conservativo donde no hay rozamiento, agregando
luego alguna forma de disipaci´ n de energ´ a compatible con o ı
medicionesexperimentales sobre el p´ ndulo real, para finali- e
zar calculando la dependencia del per´ odo de oscilaci´ n con ı o
el angulo de m´ xima amplitud.´ a

´
II. P ENDULO SIN ROZAMIENTO

 
Sea nuestro sistema una masaen el extremo de una barra
¡
sin masa de longitudcomo se ilustra en la figura 1. Si no
existe rozamiento, podemos escribir el Lagrangiano

_" _ _ ¡ _   _ ¨ _ © ¡   ¦ ¤ ¢
! __ _ _ _ ¨ ¥§ £
que nos conduce a la ecuaci´ n de movimientoo

3 £ _ ¢ & & 1 ) _ _ ¢ & ' % " # $ #
&
2
0 (
9 £ _ 87 65 ! ¡ _ _ 4 _ 2
(1)

Para poder resolver esta ecuaci´ n num´ ricamente con el o e
m´ todo de Runge–Kutta debemos primero linealizarla. Si ha- e
cemos

*Electronic
address:thelerg@ib.cnea.gov.ar

9 £ _ 87 65 ! ¡ _ _ _ @ 2
(2)

ADefinimosel vector de estadodel sistema en el espacio
P HG F DC B IE
de las fases como

_
T @ R £ A SQ
¡ 
a menos de una constante multiplicativaen la segunda
componente. Su evoluci´ n temporal est´ dada por la ecua- o a
ci´ n (2), y valeo

@ Q
` _ Y7 X5 ! W T 0 U £ _ A S
V
Para comparar nuestros resultados num´ ricos y estricta- e
mente te´ ricos con datos experimentales, tomaremosla lon- o
f I ¥ 2 E 2 d b ¥ E ¥ B £ ¡ e
c a gitudcoincidente con la longitud del
p´ ndulo de grandes amplitudes estudiado por G. Moreno [2], e
y usaremos el valor de aceleraci´ n de la gravedado

p
i
h

g

Figura 1: P´ ndulo simple. e

§ ¤ ¤ ¢ f I ¥ 2 2 E 2 c § 2 E  a B £ _

@

S9 @ ) 0 _ Y7 65 ! W V 0 Q £ _ A

medida en el mismo laboratorio.

comparando losresultados con los de la figura 4 para

tra en la figura 2, para varias condiciones iniciales. Las se-

© 2 E _ c _ £ © A

paratrices correspondientes a
las hemos trazado
BD C a b ¥ 2 E 2 0 £ ) £ 7 ) B

espec´ ficamente, haciendo en realidad que las condiciones ini-

D § E ¥ £ 3

3

luci´ n num´ rica pr´ cticamente coincide con los datos experi-

S& ` _ c Q ¨ ! __ $# _ _ £ ¨A

del sistema en el espacio de las fases del p´ ndulo num´ rico

ser´

e integrando en un intervalo de tiempo unas cuantas veces ma-

yor que en el resto de las orbitas, pues el tiempo necesario para

( 2 E _ c ' £ A

_A

SR ¨ H Q @ ¡ C D b ¥ 2 E 2 0 _ 87 65 ! ¨ ¨ Q P I Q H G 0 U £

que el p´ ndulo llegue efectivamente a la posici´ n

(5)

S

B B a

F

F H...