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Estadística I - TEMA 5: Variable Aleatoria
GADE - Curso 2013/2014

Estadística I
Bloque II
GRADO EN
ADIMINISTRACIÓN Y
DIRECCIÓN DE
EMPRESAS

Variable aleatoria y
Modelos probabilísticos

Tema 5: VARIABLE ALEATORIA
5.1. Introducción
5.2. Concepto de variable aleatoria. Características
5.3. Distribuciones bidimensionales, marginales y condicionadas
5.4. Independencia estocástica1

Estadística I - TEMA 5: Variable Aleatoria
GADE - Curso 2013/2014

Tema 5
VARIABLE ALEATORIA
5.1. INTRODUCCIÓN
La variable aleatoria es la herramienta matemática que permite pasar del estudio de sucesos
aislados al estudio de las distribuciones de probabilidad y, por lo tanto, es también la
responsable de la aplicación del análisis matemático y de otras herramientas matemáticas a laEstadística. De hecho, el concepto de variable aleatoria constituye una pieza básica para el
desarrollo de los métodos y técnicas inferenciales.
Trabajar con resultados numéricos permite hacer uso de desarrollos matemáticos. De ahí el
interés de buscar reglas que hagan posible pasar de un espacio muestral original, E, de
resultados posibles no numéricos, a un nuevo espacio muestral inducido,cuyos resultados o
elementos van a ser números. Este paso o transformación se realiza mediante la función
llamada variable aleatoria, que representamos por X.
5.2. CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA. CARACTERÍSTICAS
Como punto de partida, consideremos el experimento aleatorio ξ consistente en lanzar dos
monedas al aire. Su espacio muestral vendrá dado por:

E = {cc, ck , kc, kk } .
Entendemosque sobre ese espacio muestral se ha definido un álgebra de sucesos A y una
probabilidad P, de manera que el triple ( E , A , P ) , esto es, el espacio probabilístico,
caracteriza de manera completa al experimento aleatorio.
Supongamos ahora que lo único que nos interesa de los resultados del experimento ξ es el
número de caras obtenido. En tal caso, el conjunto de resultados vendrá dado por{0,1, 2} , un
nuevo espacio muestral cuyos elementos son números reales. De esta manera, los resultados
cualitativos del experimento se han transformado en números reales por el simple cómputo de
caras en los elementos de E. Pues bien, acabamos de definir una variable aleatoria,
llamémosla X. Se dice que es aleatoria porque toma sus valores en función del azar que
caracteriza al experimentoaleatorio ξ .
Nuestro interés respecto a los experimentos aleatorios es medir la incertidumbre asociada a
sus resultados. Parece lógico pues preguntarse cosas como cuál es la probabilidad de que X
tome el valor 0 ó que alcance cómo máximo el valor 1. Pero, no podemos utilizar nuestra
medida original de incertidumbre P, ya que ésta fue definida sobre el espacio probabilizable
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original ( E , A ) . Necesitamos definir un nuevo espacio probabilizable sobre el cuerpo de los
números reales, que llamaremos ( , B ) y una nueva medida de probabilidad PX que se
infiera de P por la propia definición de X. Es decir, debemos pasar del espacio probabilístico
( E , A , P ) al espacio probabilístico inducido ( , B, PX ) .Veámoslo con más detalle.
5.2.1. Concepto de variable aleatoria
Retomemos el experimento consistente en el lanzamiento de dos monedas al aire. Su espacio
muestral es E {= {cc, ck , kc, kk } . Supongamos que tenemos caracterizado
= e1 , e2 , e3 , e4 }
completamente dicho experimento mediante el triple ( E , A , P ) . Definamos ahora la variable
X como “número de caras al lanzar dos monedasal aire”. Lo que hemos generado es una
variable aleatoria. Hemos creado una regla que asigna números reales a cada elemento del
espacio muestral E. En definitiva, nuestra variable X es, en realidad, una función real que
tiene como dominio el conjunto E y como conjunto imagen, . Pero no se trata de una
función real de variable real, las que estamos habituados a manejar, puesto que el conjunto...