Perfil Logaritmica De Velocidad

Los perfiles de velocidad logarítmica y la ley de potencias en la subcapa inercial.
Sea el esfuerzo cortante con ajuste de tiempo que actúa sobre la pared en (que es el mismo que ). Entonces el esfuerzo cortante en la subcapa inicial no diferirá mucho del valor de . Ahora le pregunta es ¿de qué cantidad depende el gradiente de velocidad con ajuste de tiempo ? No debe depender de la viscosidad,ya que, fuera de la capa de transición, el transporte de cantidad de movimiento debe depender primeramente de las fluctuaciones de la velocidad (que de manera algo informal se denominan “movimiento de remolino”). Puede depender de la densidad , del esfuerzo cortante en la pared, y de la distancia a la pared. La única combinación de estas tres cantidades que tiene las dimensiones de un gradiente develocidad es . Por tanto, se escribe
(5.3-1)
Donde es una constante adimensional arbitraria, que debe determinarse experimentalmente. La cantidad tiene las dimensiones de la velocidad; se denomina velocidad de fricción y se le asigna el símbolo . Al integrar la ecuación 5.3-1 se obtiene
(5.3-2)
donde es una constante de integración. Para usar agrupamientos adimensionales, se vuelve aescribir la ecuación 5.3-2 como
(5.3-3)
Donde es una constante simplemente relacionada con ; la viscosidad cinemática se incluyó a fin de construir el razonamiento adimensional del logaritmo. Experimentalmente se ha determinado que valores razonables de las constantes son y , con lo que se obtiene
(5.3-4)
Esto se denomina distribución de velocidad logarítmica universal de vonKármán-Prandtl, se propone que sólo es válida en la subcapa inercial. Después se verá (en la figura 5.5-3) que esta función describe moderadamente bien los datos experimentales algo más allá de la subcapa inercial.
Si la ecuación 5.3-1 fuese correcta, entonces en efecto las constantes y serán “constantes universales” aplicables a cualquier número de Raynolds. Sin embargo, en la literatura pueden encontrarsevalores de en el intervalo de 0.40 a 0.44 y valores de en el intervalo de 5.0 a 6.3, dependiendo del intervalo de número de Raynolds. Esto sugiere que el miembro derecho de la ecuación 5.3-1 debe multiplicarse por alguna función del número de Raynolds y quepuede elevarse a alguna potencia que implique al número de Raynolds. Se han avanzado razonamientos técnicos en el sentido de que la ecuación5.3-1 debe sustituirse por
(5.3-5)
Donde ,y . Cuando la ecuación 5.3-5 se integra respecto a , se obtiene la distribución de velocidad universal de Barenblatt-Chorin:
(5.3-6)
La ecuación 5.3-6 describe mejor las regiones 3 y 4 de la figura 5.3-1 que la ecuación 5.3-4. La ecuación 5.3-13 describe mejor la región 1.
Desarrollo en serie de Taylor en la subcapa viscosa
Se comenzará por escribiruna serie de Taylor para como una función de , así
(5.3-7)
Para evaluar los términos de la serie, se necesita la expresión para el esfuerzo cortante con ajuste de tiempo en la vecindad de una pared. Para el caso especial del flujo impulsado de manera estacionaria en una rendija de espesor 2B, el esfuerzo cortante será de la forma . Luego, a partir de las ecuaciones 5.2-8 y 5.2-9 se tiene(5.3-8)
Ahora se analizará uno por uno de los términos que aparecen en la ecuación 5.3-7.
i) El primer término es cero por la condición de deslizamiento.
ii) El coeficiente del segundo término puede obtenerse a partir de la ecuación 5.3-8, reconociendo que ambas yson cero en la pared, de modo que
(5.3-9)
iii) El coeficiente del tercer término implica la segunda derivada, que puedeobtenerse al diferenciar la ecuación 5.3-8 respecto a y luego haciendo, como sigue,
(5.3-10)
ya que ambas yson cero en la pared.
iv) El coeficiente del cuarto término implica la tercera derivad, que puede obtenerse a partir de la ecuación 5.3-8, y ésta es
(5.3-11)
Aquí se ha usado la ecuación 5.2-11.
Parece no haber razón para igualar a cero el siguiente coeficiente, de modo que se...