Perito en administración de empresas

Límites y Continuidad de funciones de varias variables
1.- Se construye un depósito de propano adosando dos hemisferios a los extremos de un
cilindro circular recto. Expresar el volumen V de ese depósito en función del radio r del
cilindro y de su altura h.
2.- Determinar si las siguientes funciones son acotadas:
1
1
xy
b) z  x  y
c)  z  x 2 sen 2  y 2 sen 2
a) z  sen 2 x  y cos x - e y
e
x
y





3.- Hallar el dominio y la imagen o recorrido de las funciones:
x 2y2  9
a) f(x, y) = ln( xy  6) b) g(x,y) = 
. 
x
y
x
c) h(x,y) = arc cos
d) p(x,y) = 2
x
x  y2
4.- Hallar las curvas de nivel de las funciones:
a) z  xy
b) z  sen ( xy )
c) z  x 2  y 2
5.- La temperatura T (en grados Celsius) en cualquier punto (x, y) de una placa circular
de10m de radio es:
T = 600 - 0,75x2 - 0,75y2
Donde x e y se miden en metros. Calcular y dibujar algunas curvas isotermas:
6.- Calcular los siguientes límites:
5x 2 y
a. lím
b.
 x,y 1,2  x 2  y 2
d.

lím

 x,y  0,0 

xy  x  y
e.
xy

lím

 x,y 1, 1

x 2  y2
c.
xy
2

lím

 x,y  0,0 

 x 2  y2 
f.
 2
2 
x y 

lím

 x,y  0,0 7.- Estudiar la continuidad de las funciones:
 x y2
si (x, y)  (0,0)

; g(x,y)=
f(x,y)=  x 2  y 4
0
si (x, y)  (0,0)


lím

 x , y 1,1

x  y4
x3  y4

e xy  1
senx ln(1  y)

 x2 y
 2
4
x  y
0


si (x,y)  (0,0)
si (x,y)  (0,0)

8.- Dada la función:

xy 2
si x, y   0,0 

f x , y    2 x 2  3y 2  xy
, se pide:
k
si x, y  0,0 


lím

f ( x , y) .

a.

Hallar, si existe,

b.

Estudiar la continuidad de f en todo R2, según los valores de k.

 x , y 0, 0 

U. D. de Matemáticas de la ETSITGC

Asignatura: Métodos Matemáticos 1

Límites y Continuidad de funciones de varias variables
9.- Estudiar la continuidad en (0, 0) de las siguientes funciones:
 xy
si x, y   0,0

a. f x, y   x 2  y 2
0
si x, y   0,0


xy

si x, y   0,0 
gx, y   2
x  y2
b. h x, y   
, siendo g(x, y) una función continua en (0,0)
0
si x, y   0,0

1
tal que g (0, 0) =0. Nota: Utilizar que xy  x 2  y 2  .
2
2
2
 x  y xy
si x, y   0,0

c. jx, y    x 2  y 2
.
0
si x, y   0,0 






 sen 2 x seny

10.- Dada lafunción f(x,y)=  x 2  y 2
k

a) Hallar, si existe,

lím

 x , y 0, 0 

si (x, y)  (0,0)

. Se pide:

si (x, y)  (0,0)

f ( x , y) .

b) Estudiar la continuidad de f en todo R2, según los valores de k.
1

y 2 1  2 ysen   x 2
x
. Se pide:
11.- Dada la función z  
2
2
x y
a) Dominio de la función.
b) Límites reiterados en el punto (0,0).
c) A la vistadel resultado anterior ¿existe el límite de f en (0,0)? En caso afirmativo
calcularlo.
d) ¿Es continua la función en (0,0)?
e) Definir f(0,0) para que f sea continua en dicho punto.

12.- Para las siguientes funciones, probar que el valor de
camino elegido para acercarse a (0,0):
x 2 y4
a) f(x, y) =
2
x 2 y4  x  y2





lím

 x , y 0, 0 

f ( x, y) depende del

xy 3b) f(x, y) = 2
x  y6

x2  y2
lím
. Se pide:
 x, y 0,0 
xy
a) Determinar, si es posible, el límite a lo largo de cualquier recta y = mx.
b) Determinar, si es posible, el límite a lo largo de la parábola y =x2.
c) ¿Existe el límite? Justifica la respuesta.
13.- Consideremos

U. D. de Matemáticas de la ETSITGC

Asignatura: Métodos Matemáticos 2

Límites y Continuidad defunciones de varias variables
14.- Demostrar aplicando la definición de límite que

1

lim  y cos   0 .
x

 x , y 0 , 0 

15.- Dada la función
 x2y
si (x, y)  (0,0)

se pide:
f ( x , y)   x 2  y 2

si (x, y)  (0,0)
k
a) Límites radiales en (0, 0)
b) Límites reiterados en (0, 0)
c) ¿Existe límite en (0, 0)?
d) ¿Existe algún valor de k para el cual la...