perito

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

Cap´
ıtulo 6

MATRICES Y DETERMINANTES
6.1.

Introducci´n
o

Las matrices y los determinantes son herramientas del algebra que facilitan el ordenamiento de
´
datos, as´ como su manejo.
ı
Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados b´sicamente en el siglo XIX
a
por matem´ticos como los ingleses J.J.Sylvester y Arthur Cayley y el irland´s William Hamilton.
a
e
Las matrices se encuentran en aquellos ´mbitos en los que se trabaja con datos regularmente
a
ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales , Econ´micas y Biol´gicas.
o
o

6.2.

Matrices. Definici´n y primeros ejemplos
o

Una matriz es una tabla rectangular de

a11 a12 a13
 a21 a22 a23

A= .
.
..
.
 .
.
.
.
am1 am2 am3

n´meros reales dispuestos en filas y columnas del modo:
u
 
. . . a1n ←

. . . a2n  ←

.  ← Filas de la matriz A
..
.  
.
.


. . . amn ←

Columnas de la matriz A

ındices. El
Abreviadamente se puede expresar A = (aij ). Cada elemento de la matriz lleva dos sub´
primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra elelemento, y el segundo, “j”, la columna.
a
a
As´ el elemento a23 est´ en la fila 2 y columna 3. Las matrices siempre se representar´n con letras
ı
may´sculas.
u
Ejemplos: Son ejemplos de matrices los siguientes:


3
1
0
√
 2 −4 0 
2 1
6 −4 0
√ 
C =
A=
B=
−1 1
2
1
2 1
3 4
5
1
0
0
A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su tama˜o es 2 x 2.¿Qu´ elemento es a21 ?.
n
eB tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tama˜o es 2 x 3.¿Qu´ elemento es b23?.
n
e
C tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que su tama˜o es 4 x 3.¿Qu´ elemento es c42 ?.
n
e
En general, si una matriz A tiene m filas y n columnas, diremos que su tama˜o o dimensi´n es m
n
o
x n (se lee “m por n”), siempre en primer lugar el nö de filas y en segundo lugar el de columnas.

1 de 21.

82Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II

CAP´
ITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES

6.3.

83

Tipos de matrices

1. Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero.
Por ejemplo,
A=

0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

es una matriz nula de tama˜o 2x5.
n
2. Se llama matriz fila a la que s´lo tiene una fila, es decir su dimensi´n es 1x n.
o
o
Por ejemplo,
1 0 −4 9
es unamatriz fila de tama˜o 1 x 4.
n
3. Se llama matriz columna a la que s´lo consta de una columna, es decir su dimensi´n ser´ m x
o
o
a
1, como por ejemplo:


1
0
C= √ 
− 8
es una matriz columna de tama˜o 3 x 1.
n
4. Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo n´mero de filas que de columnas, es decir su
u
n
dimensi´n es n x n. La matriz ( 2 1 ) del primer ejemplo anterior escuadrada de tama˜o 2 x 2 o
o
3 4
simplemente de orden 2.
Otro ejemplo de matriz cuadrada es:




1
2 3
D= 6
5 4
−3 −4 0

de orden 3.
Dentro de las matrices cuadradas llamaremos diagonal principal a la formada por los elementos
a11 , a22 , a33, . . . , ann , siendo la matriz:


a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n 


A= .
.
.
. 
..
.
.
. 
 .
.
.
..
.
an1 an2 an3 . . .

ann

En la matriz D del ejemplo anterior, su diagonal principal estar´ formada por 1, 5, 0.
ıa
Se llama traza de la matriz a la suma de los elementos de la diagonal. Es decir, Traza (A)=a11 +
a22 + a33 + . . . + ann , y en el caso de D, Traza (D)= 1+5+0 = 6.
La diagonal secundaria es la formada por los elementos a1n , a2,n−1, a3,n−2, . . . , an1 .
En la matriz Destar´ formada por 3, 5, -3.
ıa
Una clase especial de matrices cuadradas son las matrices triangulares.
Una matriz es triangular superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son
nulos y triangular inferior si son nulos todos los elementos situados por encima de dicha diagonal.
Son ejemplos de estas matrices:




1 0
0
0
1 4 1
3
0 −4 0

0 
F = 0 9...