permutacion y combinacion

Permutaciones y combinaciones
Contamos posibilidades
Comenzamos con un sencillo ejemplo. En España, los coches tienen una matrícula que consta de cuatro
dígitos decimales, seguidos de tres letras sacadas de un alfabeto de 26. ¿Cuántas matrículas distintas
puede llegar a haber?
Cuando se da una situación en la que cada uno de varios elementos puede tomar valores distintos, o
diferentestareas se pueden hacer de forma distinta, y todos ellos son independientes entre sí, la forma de
calcular el número total de posibilidades es multiplicar el número de valores que puede tomar cada
elemento, o el número total de formas en las que se puede realizar cada tarea. En nuestro caso, el primer
dígito puede tomar uno de 10 valores; para cada uno de estos valores, el segundo dígito puede tomaruno
de 10 valores, y así sucesivamente, hasta llegar a la tercera letra, que puede tomar, para cada uno de los
casos que tengamos hasta ese momento, uno de 26 valores, para un total de
10 × 10 × 10 × 10 × 26 × 26 × 26 = 175.760.000 posibles matrículas.
Como se puede ver, ¡tenemos matrículas para rato!

Tomemos otro ejemplo sencillo. ¿Cuántos números hay cuya expresión decimal tieneexactamente 6
cifras? (Como es habitual, los ceros a la izquierda se eliminan)
En este caso, uno de los elementos tiene una limitación en su valor: la primera cifra no puede ser cero
porque entonces ese cero a la izquierda se eliminaría y el número tendría a lo sumo 5 cifras. Por lo tanto,
la primera cifra sólo puede tomar 9 posibles valores (1,2,...,9), para un total de
9 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 =900.000 números.
Este problema se puede resolver también de otra forma alternativa, ya que el menor número que tiene
exactamente 6 cifras es el 100.000, y el mayor es 999.999, y todos los números entre ambos, y ninguno
más, tiene exactamente 6 cifras, para un total de
999.999 − 100.000 + 1 = 900.000 números.
Sumamos uno a la diferencia entre 999.999 y 100.000 porque ambos tienen 6 cifras ydeben ser contados.

Continuamos con otro ejemplo. En el mus se reparten a cada jugador 4 cartas de una baraja de 40 cartas
distintas. ¿De cuántas formas distintas me pueden repartir 4 cartas en el mus? ¿De cuántas formas me
pueden tocar los 4 reyes?
Ahora, el resultado de la primera carta que se reparta afecta a las otras 3, porque ninguna de estas 3 puede
ser igual a la primera, que ya estárepartida. Por lo tanto, aunque la primera carta que me repartan es una
de entre 40, la segunda carta deberá ser una de entre las 39 restantes, la tercera una de las 38 restantes, y
la cuarta una de entre las 37 restantes, para un total de
40 × 39 × 38 × 37 = 2.193.360 posibles formas de repartir 4 cartas.
Para que me toquen los cuatro reyes, la primera carta debe ser uno de estos cuatro reyes,la segunda uno
de los tres restantes, la tercera uno de los dos restantes, y la última el rey que quede, para un total de
4 × 3 × 2 × 1 = 24 posibles formas de repartir los 4 reyes.
¡De repente, tener cuatro reyes parece muy difícil!

¿Importa el orden?
Vamos a cambiar ligeramente el problema anterior: ¿Cuántas posibles manos existen en el mus? Es decir,
como una vez que tengo mis cuatrocartas en la mano, la jugada no depende del orden en que me hayan
llegado, ¿cuántos son los posibles grupos de 4 cartas que puedo llegar a tener jugando al mus? ¿Cuántas
manos tienen 4 reyes?
La respuesta a la última pregunta es claramente que sólo 1 mano tiene 4 reyes, ¡cuando tengo los 4! No
importa en este caso el orden en que hayan llegado. Me han podido llegar primero el de oros, luego elde
copas, el de espadas y finalmente el de bastos (OCEB), pero me han podido llegar también en cualquier
otro orden, (CBEO, BOEC,...). De hecho, como el primero ha podido ser cualquiera de los 4, luego
cualquiera de los tres restantes, luego cualquiera de los 2 restantes, y finalmente el único que me falta,
hay
4 × 3 × 2 × 1 = 24 posibles formas de ordenar los 4 reyes.
¡Claro, tantas...