Permutacones

Funciones de permutación

Permutación y grupo simétrico
Definiciones
Antiguamente, se definía una permutación así: Sea un número n de objetos, (n>1), alineados en una mesa con el fin de poder atribuir a cada cual su rango: el objeto más a la izquierda es el primero, el que sigue el segundo y así sucesivamente. Ahora se mezclan los objetos y se les vuelven a colocar en una fila, encualquier orden. Se dice que se han permutado los objetos, o, lo que viene a ser lo mismo, los números de 1 a n.
Si el objeto que se encuentra actualmente a la izquieda era antes el quinto de la fila, si el que se encuentra a su derecha era el séptimo ... y el que está al final era el segundo ... entonces la actual permutación está caracterizada por los serie de números ( 5, 7, ..., 2).
La definiciónmoderna de una permutación ya no hace referencia al mundo real, y prescinde de los objetos.
Para conocer la permutación, sólo se necesita conocer la serie de números (5, 7, ..., 2) en el ejemplo. Se dice que 5 es la imagen de 1 por la permutación, 7 es la imagen de 2, ...y 2 es la imagen de n. De este punto de vista, una permutación es una aplicación biyectiva de [1,n] hacia [1,n]. Es biyectivaporque a cada posición anterior de un objeto corresponde una única posición actual.

Una permutación de orden n es una biyección de [1,n]

Se llama grupo simétrico de orden n al conjunto de todas las permutaciones de orden n.
Este conjunto forma un grupo con la ley de composición de las funciones, y tiene un alto grado de simetría.
[escribe] Representaciones
Sea σ una permutación. Paradefinir σ se puede escribir σ(1)=..., σ(2)=... hasta σ(n)=... lo que no resulta muy económico porque se repiten así n veces la letra σ y se escriben 2n paréntesis. Existen varias maneras de ahorrar esfuerzos y tinta...
La primera idea es escribir σ bajo forma de una matriz, con en primera línea loa antecedentes, y en segunda línea las imágenes correspondientes.

Una representación más llamativa esla que emplea los grafos orientados:

En este grafo aperecen varios subgrafos disjuntos, lo que incita a separarlos:

Escrito así, se puede ver que la σ se descompone en ciclos, de orden 4,3 y 1 respectivamente. El de orden 1 no merece realmente el nombre de ciclo. Se nota asíla descomposición: σ = (1 3 6 2) º (4 7 8), el símbolo º designa la composición de las funciones. Un ciclo deja fijotodos los puntos que no figuran el él.

Para componer permutaciones, la representación más idónea es la que sigue:
Si y
entonces se las dibuja así :

y su composición es : τ º σ
[escribe] Los grupos simétricos de orden 1,2,3 y 4
La costumbre es denotar los grupos simétricos con la letra gótica , pero para mayor facilidad también se acepta su equivalente latino Sn (en índice se poneel orden del grupo).
Los tres primeros grupos son sencillos:

S1 consta de un único elemento, la identidad o aplicación idéntica, pues no existe otra permutación de un único elemento.
S2 consta de dos elementos, porque en el conjunto {1; 2} existen dos permutaciones: la identidad y la permutación que intercambia el 1 y el 2: s = (1 2) ("s" por "simetría", porque s2 = id).

S3 corresponde alas permutaciones de tres puntos que se pueden disponer en triángulo. Existen tres simetrías, entre ellas s = (1 2), y dos rotaciones (permutaciones circulares), r = (1 2 3) y r2 = (1 3 2). r3 = id.
sr (para sºr, pues es frecuente no escribir la ley de composición) es otra simetría luego (sr)2 = id que se simplifica en sr = r2s y por otra parte rs = sr2 lo que significa que s y r no conmutan,por tanto el producto de los grupos {id, s} por {id, r, r2} es semidirecto.
Visto en Z2*Z3 - s corresponde a (1,0) y r a (0,1) - la ley de composición es:
(a, b) º (a', b') = (a + a', (-1)a'b + b').

Las permutaciones son operaciones contiguas que se van multiplicando hasta el tope de la misma, es decir, hasta llegar al indice de la permutacion. En las permutaciones nos interesa el lugar o...