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GUÍA IV
Cálculo Diferencial
Límite y Continuidad
1. Considere la función f : R −→ R denida por f (x) = 5x + 2 y el intervalo V = (2 − 10−2 , 2 + 10−2 ). Encuentre
un intervalo abierto U centradoen 0 tal que si x está en U , entonces f (x) está en V .
2. Sea f : R −→ R denida por
f (x) =

 2
 x sin


si x = 0

1
x

si x = 0

0

a) Demuestre usando la denición que lim f(x) = 0.
x→0

b) ¾Es f una función continua en todo su dominio?
3. Analice la existencia de los siguientes límites. En caso de existir calcule su valor y en caso contrario justique
su respuesta.sin(ax) − sin(bx)
x
x3 − ax2
lim
x→a x − a
ex − e
lim
x→1 sin(πx)
1
1
lim
−√
x
x→0+ x
tan(x2 )
lim
x→0 2x2 + x4
1
lim x tan
x→+∞
x
[x]
lim
x→7 x

a) lim

x→0

b)
c)
d)e)
f)
g)

4. ¾Es posible denir de manera continua la función f en x = 1?, donde
f (x) =





√




5. Sea f : R −→ R denida por
f (x) =

si x > 1

x3 −1
3(x2 −1)












√
2x2 +2− x2 +3
x−1

si x < 1

sin(ax)
x

si x < 0

3

si x = 0

√
b 4x2 +x3
x

si x > 0
Determine a y b en R para que f sea una función continua en0.

6. Sea f : R −→ R denida por

x4 −16
x−2

si x = 2



f (x) =




16

si x = 2

¾Es f una función continua en 2?
7. Si f : (− π , π ) −→ R denida por
4 4

1−cos(2x)
tan(2x)

si x = 0



A

si x = 0





x2 +sin2 (x)
1−cos(x)

si x = 0

f (x) =

es continua en 0, ¾cuál es el valor de A?
8. Sea f : (−2, 2) −→ R denida por
f (x) =si x = 0


 4

Demuestre que f es continua en su dominio.
9. Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Si es verdadera demuéstrelo y si es falsa
justique surespuesta.
1
= +∞.
x→a f (x)

a) Si lim f (x) = 0 entonces lim
x→a

b) Si lim− f (x) = lim+ f (x) entonces la función f es continua en el punto a.
x→a

x→a

c) Si f (x) = 3x + 5x + 2 entonces...