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Curvas polinomiales y lofting. Aplicaciones al diseño de una presa
bóveda
Delgado Olmos, Angel H. (1); Márquez García, M. Luisa (2); Olmo García, Juan C. (3)
(1)Universidad de Granada. España
E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, Departamento de Expresión Gráfica
Arquitectónica y en la Ingeniería, E-mail: ahdolmos@ugr.es
(2)Universidad de Granada. España
E.T.S. deArquitectura, Departamento de Matemática Aplicada, E-mail: mmarquez@ugr.es
(3)Universidad de Granada. España
Departamento de Expresión Gráfica Arquitectónica y en la Ingeniería, E-mail:jolmog@ugr.es

Resumen
Las curvas polinomiales controladas por puntos ofrecen una gran libertad, lejos de las
cortapisas que conlleva el uso de curvas convencionales, para el diseño de curvas de forma
cualesquiera.
Latécnica del Lofting, a su vez, permite generar superficies que engloban una serie de
curvas dadas. El uso simultáneo de ambos instrumentos de diseño geométrico permite generar la
forma que determina cada una de las caras (aguas abajo y arriba) de una presa bóveda.
En la presente ponencia se presenta el cálculo geométrico involucrado en la generación
de ambas superficies y su tratamiento enordenador así como un ejemplo práctico de su uso.
Palabras Clave: curvas polinomiales, lofting, presas bóveda, polinomios de Lagrange

Abstract
The curves polinomiales controlled by points offer a great freedom, far from the
obstacles that it bears the use of curved conventional, for the design of curved in way any.
The technique of the Lofting, in turn, allows to generate surfaces that includea series of
given curves. The simultaneous use of both instruments of geometric design allows to generate
the form that each one of the faces determines (you dilute below and it arrives) of a prey vault.
In the present report the geometric calculation is presented involved in the generation of
both surfaces and its treatment in computer as well as a practical example of its use.
Key words:curved polinomiales, lofting, preys vault, polynomials of Lagrange

1. Introducción
El diseño de una presa bóveda pasa fundamentalmente por la definición geométrica de las
superficies que forman los paramentos de aguas arriba y aguas abajo. Èstos, salvo casos
escepcionales, no son superficies clásicas, cuyas ecuaciones son conocidas, sino que hay que
diseñarlas de acuerdo, fundamentalmente,con los requerimientos estructurales de la obra.
Una manera de abordar el problema sería considerar la presa como una agregación de arcos
horizontales, cada uno de ellos con una forma y espesor variables de acuerdo con las
solicitaciones a las que va a estar sometido (Figura 1).

Figura 1. Arco horizontal
Cada uno de estos arcos queda definido mediante las dos curvas situadas en cada uno delos
paramentos de la presa. Por tanto cada uno de los paramentos se puede considerar como una
superficie que engloba todas las curvas de los arcos situados en él.
A su vez cada una de estas curvas puede ser conocida (curva clásica), en cuyo caso tenemos
su expresión analítica, o bien, lo que da mayor libertad de diseño, que sea una curva controlada
por puntos. De culquier manera siempre sepueden obtener las ecuaciones de todas las curvas de
los intradós y trasdós de cada uno de los arcos que forman, en su conjunto, los paramentos de la
presa.
A partir del conjunto de todas esas curvas se pueden obtener las definiciones de ambos
paramentos de la presa y por tanto su definición geométrica.
La técnica del lofting , genera un algoritmo, que se muestra perfectamente apropiado parahacer lo anteriormente descrito y que posteriormente será desarrollado.
Los cálculos y obtención de los modelos 3D se han implementado mediante el sofware
Mathematica.

2. Algoritmo de generacion de las curvas de los arcos
Los curvas que determinan los arcos se han obtenido como curvas polinomiales controladas
cada una de ellas, por cuatro puntos. La expresion analitica de dichas curvas...