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FUNCIONES.

2.1 CONCEPTOS
Constante: Es cualquier valor bien definido. Se pueden usar letras para representarlo, pero debemos conocer su valor. Ejemplos: 3, -8, π, etc.
Variable: Es cualquier valor NO CONOCIDO, pero que sabemos el conjunto de valores que puede tomar. Ejemplos x, y, α, etc.
Relación: Es la regla que hace corresponder un elemento de un conjunto (llamado “inicial”) con uno ovarios elementos de otro conjunto (llamado “final” o “imagen”).

Ejemplo: Sean los conjuntos A = {1960, 1964, 1968, 1972}, B = {Estados Unidos (EU), Alemania (AL), Rusia (RU), Australia (AU)}, y las relaciones R (en el año a ganó Voleibol el país b), G (en el año a ganó natación el país b) y H (en el año a ganó atletismo el país b), todo está referido a la tabla siguiente:
Algunos campeonatosOlímpicos |
Año | Voleibol | Natación | Atletismo |
1960 | | Australia | Rusia |
1964 | Rusia | Australia | Alemania |
1968 | Rusia | Estados Unidos | Australia |
1972 | | Estados Unidos | |

Veamos los diagramas de flechas de las relaciones especificadas:

Una Función f de un conjunto X a un conjunto Y es una Relación que asigna a cada elemento x del conjunto X exactamente unelemento y del conjunto Y (f:X→Y=fx). Aquí cabe decir que y es la imagen de x bajo f, que se representa así: y = f(x).
* El dominio de f:X→Y es el conjunto formado por todas las x X para las cuales existe exactamente una y Y ().
* El recorrido (contradominio, rango o imagen) de f:X→Y es el conjunto formado por todas las imágenes de x. O sea: Recorrido de f:X→Y = {y Y| y = f(x)}.
Resolverproblemas 1 a 32, sección 2.7, página 79, Matemáticas 1 de Dennis G. Zill.

2.2 FUNCION INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA.
En un grafico de flechas:
* Una función es inyectiva cuando se cumple que todos los elementos del conjunto final son generados por solamente uno o cero elementos del dominio.
* Una función es suprayectiva cuando se cumple que todos los elementos del conjunto finalson generados por al menos un elemento del dominio (RANGO = CONJUNTO Y).
* Una función es biyectiva cuando se cumple que todos los elementos del conjunto final son generados por exactamente un elemento del dominio.

En un gráfico sobre los ejes coordenados (regla de la recta horizontal):
* Una función es inyectiva cuando se cumple que la recta horizontal NUNCA toca a la función en más deun punto.
* Una función es suprayectiva cuando se cumple que la recta horizontal NUNCA deja de tocar la función (RANGO = CONJUNTO Y).
* Una función es biyectiva cuando se cumple que la recta horizontal SIEMPRE toca la función en exactamente un punto.

2.3 FUNCION REAL DE VARIABLE REAL Y SU REPRESENTACIÓN GRAFICA.

Una Función f de un conjunto X a un conjunto Y es una Relación que asignaa cada elemento x del conjunto X exactamente un elemento y del conjunto Y (f:X→Y=fx). Aquí cabe decir que y es la imagen de x bajo f, que se representa así: y = f(x).

2.3.1. EVALUACIÓN DE FUNCIONES
Si y = 8 cuando x = 2 8 = f(2); a esto se le llama “evaluar una función”. En general, para evaluar una función f(x) en algún valor a, lo único que debemos hacer es SUSTITUIR el valor a en lugar dela x, respetando todas las operaciones y demás símbolos (no debemos tocarlos), para enseguida simplificar.
EJEMPLO: Se desea evaluar la función y=fx=x2-3x+2x-2 en x = -3.
Solución: y=fx=(x)2-3(x)+2(x)-2 Aíslo la variable a sustituir.
f-3=-32-3-3+2-3-2. Sustituyo el valor específico.
f-3=9+9+2-3-2 Realizo operaciones indicadas
f-3=20-5 Simplifico.
f-3=-4; en consecuencia, y=-4.Por lo tanto leemos “-4 es la función f evaluada en -3” ó “-4 es la imagen de -3 bajo f”. El par formado con estos dos valores (-3,-4), se puede representar como un punto en los ejes coordenados. El conjunto de puntos calculados de esta manera y dibujados en los ejes coordenados, es la gráfica de la función.
La gráfica de y=fx=x2-3x+2x-2 se muestra a continuación:
2
1
3

Para calcular...